a) Rút gọn biểu thức: \(P=\left( \frac{\sqrt{a}+1...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

a) Quy đồng mẫu các phân thức, sau đó rút gọn biểu thức đã cho.

b) Tìm điều kiện xác định.

+) Giải phương trình bằng phương pháp đặt nhân tử chung.

c) Đưa phương trình (1) về dạng phương trình tích để giải phương trình (1).

+) Sau đó thế vào phương trình (2) để giải phương trình, tìm nghiệm. 

Giải chi tiết:

a) Điều kiện :

\(\begin{align} & P=\frac{{{(\sqrt{a}+1)}^{2}}-{{(\sqrt{a}-1)}^{2}}+4\sqrt{a}(a-1)}{\left( \sqrt{a}-1 \right)\left( \sqrt{a}+1 \right)}.\frac{a-1}{\sqrt{a}} \\ & \ \ \ =\frac{a+2\sqrt{a}+1-a+2\sqrt{a}-1+4a\sqrt{a}-4\sqrt{a}}{a-1}.\frac{a-1}{\sqrt{a}} \\ & \ \ \ =\frac{4a\sqrt{a}}{\sqrt{a}}=4a. \\ \end{align}\)

b) Điều kiện: \(x\ge 3\).

Phương trình đã cho tương đương với: 

\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\sqrt {x - 3} = 3\left( {x - 2} \right)\\
\Leftrightarrow (x - 2)(\sqrt {x - 3} - 3) = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x - 2 = 0\\
\sqrt {x - 3} = 3
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 2\\
x - 3 = 9
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 2\;\;\left( {ktm} \right)\\
x = 12\;\;\;\left( {tm} \right)
\end{array} \right..
\end{array}\)

Kết hợp điều kiện ta có: x = 12 là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho.

c) Xét phương trình thứ nhất là bậc 2 theo ẩn x, y ta có: 

\(\begin{array}{l}
{x^2} + xy - 2{y^2} = 0 \Leftrightarrow {x^2} + 2xy - xy - 2{y^2} = 0\\
\Leftrightarrow x\left( {x + 2y} \right) - y\left( {x + 2y} \right) = 0\\
\Leftrightarrow (x - y)(x + 2y) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = y\\
x = - 2y
\end{array} \right..
\end{array}\)

Với x = y thay vào phương trình còn lại ta thu được: 

\(\begin{array}{l}
3y + 2y = 5{y^2} \Leftrightarrow 5{y^2} - 5y = 0\\
\Leftrightarrow 5y\left( {y - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
y = 0 \to x = 0\\
y = 1 \to x = 1
\end{array} \right..
\end{array}\)

Với x = - 2y thay vào phương trình còn lại ta thu được: 

\(\begin{array}{l}
- 6y + 2y = - 10{y^2} \Leftrightarrow 10{y^2} - 4y = 0\\
\Leftrightarrow 2y\left( {5y - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
y = 0 \to x = 0\\
y = \frac{2}{5} \to x = \frac{{ - 4}}{5}
\end{array} \right..
\end{array}\)

Vậy tập nghiệm của hệ đã cho là: \((0;0);\ (1;1);\ \ \left( \frac{-4}{5};\frac{2}{5} \right).\)

Chọn D