Cho hình lăng trụ đứng ABC. A’B’C’ có đáy ABC là t...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

Gọi O, I lần lượt là trung điểm của AC và A’C

Vì tam giác ABC vuông tại B nên O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Ta có: IO là đường trung bình của tam giác AA’C\( \Rightarrow IO//AA' \Rightarrow IO \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow IO\) là trục của mặt phẳng (ABC)\( \Rightarrow IA = IB = IC = IA' \Rightarrow I\)là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp A’. ABC

Ta có: \(AA' \bot \left( {A'B'C} \right) \Rightarrow A'B'\) là hình chiếu vuông góc của AB’ trên (A’B’C’)\( \Rightarrow \widehat {\left( {AB';\left( {A'B'C'} \right)} \right)} = \widehat {\left( {AB';A'B'} \right)} = \widehat {AB'A'} = {60^0}\)

Xét tam giác vuông A’B’C’ có:

\(\begin{array}{l}A'B' = A'C'. sin\widehat {A'C'B'} = a\sqrt 3 . \sin 30 = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\\B'C' = A'C'. c{\rm{os30 = a}}\sqrt 3 . \cos 30 = a\sqrt 3 . \dfrac{{\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{3a}}{2}\end{array}\)

\(AA' \bot \left( {A'B'C'} \right) \Rightarrow AA' \bot A'B' \Rightarrow \Delta AA'B'\) vuông tại A’\( \Rightarrow AA' = A'B'. tan60 = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}. \sqrt 3  = \dfrac{{3a}}{2}\)

Xét tam giác vuông AA’C có: \(A'C = \sqrt {AA{'^2} + A{C^2}}  = \sqrt {\dfrac{{9{a^2}}}{4} + 3{a^2}}  = \dfrac{{a\sqrt {21} }}{2}\)

\( \Rightarrow R = IA' = \dfrac{1}{2}A'C = \dfrac{{a\sqrt {21} }}{4}\)

Chọn B.