Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để p...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

- Đặt ẩn phụ đưa phương trình về hệ phương trình đối xứng loại hai.

- Sử dụng phương pháp xét hàm để tìm \(m\)

Giải chi tiết:

Ta có: \(\sqrt[3]{m+3\sqrt[3]{m+3\sin x}}=\sin x\Leftrightarrow m+3\sqrt[3]{m+3\sin x}={{\sin }^{3}}x\).

Đặt \(\sqrt[3]{m+3\sin x}=u\Rightarrow m+3\sin x={{u}^{3}}\) thì phương trình trên trở thành \(m+3u={{\sin }^{3}}x\)

Đặt \(\sin x=v\) thì ta được

\(\left\{ \begin{align}  & m+3v={{u}^{3}} \\  & m+3u={{v}^{3}} \\ \end{align} \right.\Rightarrow 3\left( v-u \right)+\left( v-u \right)\left( {{v}^{2}}+uv+{{u}^{2}} \right)=0\Leftrightarrow \left( v-u \right)\left( 3+{{v}^{2}}+uv+{{u}^{2}} \right)=0\)

Do \(3+{{v}^{2}}+uv+{{u}^{2}}>0,\forall u,v\) nên phương trình trên tương đương \(u=v\).

Suy ra \(\sqrt[3]{m+3\sin x}=\sin x\Leftrightarrow m={{\sin }^{3}}x-3\sin x\).

Đặt \(\sin x=t\left( -1\le t\le 1 \right)\) và xét hàm \(f\left( t \right)={{t}^{3}}-3t\) trên \(\left[ -1;1 \right]\) có \(f'\left( t \right)=3{{t}^{2}}-3\le 0,\forall t\in \left[ -1;1 \right]\)

Nên hàm số nghịch biến trên \(\left[ -1;1 \right]\Rightarrow -1=f\left( 1 \right)\le f\left( t \right)\le f\left( -1 \right)=2\Rightarrow -2\le m\le 2\).

Vậy \(m\in \left\{ -2;-1;0;1;2 \right\}\).

Chọn A.