Cho \(f\left( x \right)\) là hàm số chẵn và \(\int...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất của hàm số chẵn: Hàm số \(y = f\left( x \right)\) có TXĐ D là hàm số chẵn khi và chỉ khi: \(\forall x \in D \Rightarrow  - x \in D\,,\,\,f\left( x \right) = f\left( { - x} \right)\).

Sau đó áp dụng công thức \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}  + \int\limits_b^c {f\left( x \right)dx}  = \int\limits_a^c {f\left( x \right)dx} .\)

Giải chi tiết:

Vì \(f\left( x \right)\) là hàm số chẵn \( \Rightarrow \,\,f\left( x \right) = f\left( { - \,x} \right),\,\,\,\forall x \in D.\)

Đặt \(t =  - \,x \Leftrightarrow {\rm{d}}t =  - \,{\rm{d}}x\) và đổi cận \(\left\{ \matrix{  x =  - \,1\,\, \to \,\,t = 1 \hfill \cr   x = 0\,\, \to \,\,t = 0 \hfill \cr}  \right.\)

Khi đó \(\int\limits_{ - \,1}^0 {f\left( x \right){\rm{d}}x}  = \int\limits_{ - \,1}^0 {f\left( { - \,x} \right){\rm{d}}x}  = \int\limits_1^0 {f\left( t \right)\left( { - \,{\rm{d}}t} \right)}  = \int\limits_0^1 {f\left( t \right){\rm{d}}t}  = \int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x}  = 3.\)

Vậy \(I = \int\limits_{ - \,1}^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x}  = \int\limits_{ - \,1}^0 {f\left( x \right){\rm{d}}x}  + \int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x}  = 3 + 3 = 6.\)

Chọn D.