Cho hàm số \(y = {x^3} + 2\left( {m - 2} \right){x...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Hàm đa thức bậc ba \(y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\left( {a \ne 0} \right)\) có hai điểm cực trị khi phương trình \(y' = 0\) có hai nghiệm phân biệt.

Xét dấu của hai nghiệm \({x_1};{x_2}\) và sử dụng hệ thứ Vi-ét để biến đổi điều kiện \(\left| {{x_1}} \right| - \left| {{x_2}} \right| =  - 2\) tìm \(m.\)

Giải chi tiết:

Xét \(y = {x^3} + 2\left( {m - 2} \right){x^2} - 5x + 1\) có \(y' = 3{x^2} + 4\left( {m - 2} \right)x - 5\)

Từ ycbt suy ra phương trình \(y' = 0\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1};{x_2}\) thỏa mãn \(\left| {{x_1}} \right| - \left| {{x_2}} \right| =  - 2.\)

Nhận thấy phương trình \(y' = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} + 4\left( {m - 2} \right)x - 5 = 0\) có \(a.c = 3.\left( { - 5} \right) =  - 15 < 0\) nên \(y' = 0\) có hai nghiệm trái dấu \({x_1} < 0 < {x_2}.\)

Theo hệ thức Vi-ét ta có \({x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - 4\left( {m - 2} \right)}}{3}\)

Xét \(\left| {{x_1}} \right| - \left| {{x_2}} \right| =  - 2 \Leftrightarrow  - {x_1} - {x_2} =  - 2 \Leftrightarrow {x_1} + {x_2} = 2\)

\( \Rightarrow \dfrac{{ - 4\left( {m - 2} \right)}}{3} = 2 \Leftrightarrow  - 4m =  - 2 \Leftrightarrow m = \dfrac{1}{2}\)

Chọn C.