Từ phương trình \(1 + {\sin ^3}x + {\cos ^3}x = \d...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

- Sử dụng hằng đẳng thức \({a^3} + {b^3} = \left( {a + b} \right)\left( {{a^2} - ab + {b^2}} \right)\).

- Đặt \(t = \sin x + \cos x\,\,\left( { - \sqrt 2  \le t \le \sqrt 2 } \right) \Rightarrow \sin x\cos x = \dfrac{{{t^2} - 1}}{2}\).

- Rút gọn, giải phương trình bậc ba tìm \(t\).

- Thay ngược lại tìm \(x\) và tính \(\cos \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right)\).

Giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,1 + {\sin ^3}x + {\cos ^3}x = \dfrac{3}{2}\sin 2x\\ \Leftrightarrow 1 + \left( {\sin x + \cos x} \right)\left( {{{\sin }^2}x - \sin x\cos x + {{\cos }^2}x} \right) = 3\sin x\cos x\\ \Leftrightarrow 1 + \left( {\sin x + \cos x} \right)\left( {1 - \sin x\cos x} \right) = 3\sin x\cos x\end{array}\)

Đặt \(t = \sin x + \cos x\,\,\left( { - \sqrt 2  \le t \le \sqrt 2 } \right) \Rightarrow \sin x\cos x = \dfrac{{{t^2} - 1}}{2}\).

Khi đó phương trình trở thành:

\(\begin{array}{l}1 + t.\left( {1 - \dfrac{{{t^2} - 1}}{2}} \right) = 3\dfrac{{{t^2} - 1}}{2} \Leftrightarrow 2 + 2t - {t^3} + t = 3{t^2} - 3\\ \Leftrightarrow {t^3} + 3{t^2} - 3t - 5 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t =  - 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\t =  - 1 \pm \sqrt 6 \,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Với \(t =  - 1\) ta có

\(\begin{array}{l}\sin x + \cos x =  - 1 \Leftrightarrow \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) =  - \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + \dfrac{\pi }{4} =  - \dfrac{\pi }{4} + k2\pi \\x + \dfrac{\pi }{4} = \dfrac{{5\pi }}{4} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \\x = \pi  + k2\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)

Với \(x =  - \dfrac{\pi }{2} + k2\pi  \Leftrightarrow \cos \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) = \cos \left( { - \dfrac{\pi }{2} + \dfrac{\pi }{4} + k2\pi } \right) = \cos \left( { - \dfrac{\pi }{4}} \right) = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\).

Với \(x = \pi  + k2\pi  \Leftrightarrow \cos \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) = \cos \left( {\pi  + \dfrac{\pi }{4} + k2\pi } \right) = \cos \left( {\dfrac{{5\pi }}{4}} \right) =  - \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\).

Vậy \(\cos \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) =  \pm \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\).

Chọn D