Giải phương trình nghiệm nguyên \(3{x^2} - {y^2} -...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Ta coi \(y\) là ẩn và \(x\) là tham số sau đó ta xét \({\Delta _y} \ge 0\).

Giải chi tiết:

\(3{x^2} - {y^2} - 2xy - 2x - 2y + 8 = 0 \Leftrightarrow  - {y^2} - 2\left( {x + 1} \right)y + 3{x^2} - 2x + 8 = 0\,\,\,\left( * \right)\)

Để phương trình có nghiệm nguyên thì \({\Delta _y}' \ge 0 \Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^2} - \left( { - 1} \right).\left( {3{x^2} - 2x + 8} \right) \ge 0\)

\( \Leftrightarrow {x^2} + 2x + 1 + 3{x^2} - 2x + 8 \ge 0 \Leftrightarrow 4{x^2} + 9 \ge 0\)

Vì \(x,\,\,y\) là số nguyên nên \({\Delta _y}'\)  là số chính phương: \(4{x^2} + 9 = {k^2}\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {k^2} - 4{x^2} = 9 \Leftrightarrow \left( {k - 2x} \right)\left( {k + 2x} \right) = 9\\ \Leftrightarrow k + 2x|9 \Rightarrow k + 2x \in U\left( 9 \right) = \left\{ { \pm 1; \pm 3; \pm 9} \right\}\end{array}\)    

TH1: \(\left\{ \begin{array}{l}k + 2x = 1\\k - 2x = 9\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}k = 5\\x =  - 2 \Rightarrow  - {y^2} + 2y + 24 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = 6\\y =  - 4\end{array} \right. \Rightarrow \left( { - 2;6} \right);\left( { - 2; - 4} \right)\end{array} \right.\)

TH2: \(\left\{ \begin{array}{l}k + 2x =  - 1\\k - x =  - 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}k =  - 5\\x = 2 \Rightarrow  - {y^2} - 6y + 16 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = 2\\y =  - 8\end{array} \right. \Rightarrow \left( {2;2} \right);\left( {2; - 8} \right)\end{array} \right.\)

TH3: \(\left\{ \begin{array}{l}k + 2x = 3\\k - 2x = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}k = 3\\x = 0 \Rightarrow  - {y^2} - 2y + 8 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = 2\\y =  - 4\end{array} \right. \Rightarrow \left( {0;2} \right);\left( {0; - 4} \right)\end{array} \right.\)

TH4: \(\left\{ \begin{array}{l}k + 2x =  - 3\\k - 2x =  - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}k =  - 3\\x = 0 \Rightarrow  - {y^2} - 2y + 8 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = 2\\y =  - 4\end{array} \right. \Rightarrow \left( {0;2} \right);\left( {0; - 4} \right)\end{array} \right.\)

TH5: \(\left\{ \begin{array}{l}k + 2x = 9\\k - 2x = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}k = 5\\x = 2 \Rightarrow  - {y^2} - 6y + 16 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = 2\\y =  - 8\end{array} \right. \Rightarrow \left( {2;2} \right);\left( {2; - 8} \right)\end{array} \right.\)

TH6: \(\left\{ \begin{array}{l}k + 2x =  - 9\\k - 2x =  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}k =  - 5\\x =  - 2 \Rightarrow  - {y^2} + 2y + 24 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = 6\\y =  - 4\end{array} \right. \Rightarrow \left( { - 2;6} \right);\left( { - 2; - 4} \right)\end{array} \right.\)

Vậy phương trình có 6 nghiệm nguyên \(\left( { - 2;6} \right);\left( { - 2; - 4} \right);\left( {0;2} \right);\left( {0; - 4} \right);\left( {2;2} \right);\left( {2; - 8} \right)\).

Chọn D.