1. Cho các số thực \(a,\,\,b,\,\,c\) thỏa mãn \(\l...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

1. Cho các số thực \(a,\,\,b,\,\,c\) thỏa mãn \(\left\{ \begin{array}{l}0 < a,\,\,b,\,\,c < \frac{1}{2}\\2a + 3b + 4c = 3\end{array} \right..\) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

\(P = \frac{2}{{a\left( {3b + 4c - 2} \right)}} + \frac{9}{{b\left( {4a + 8c - 3} \right)}} + \frac{8}{{c\left( {2a + 3b - 1} \right)}}.\)

Theo đề bài ta có: \(2a + 3b + 4c = 3 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3b + 4c = 3 - 2a\\4a + 8c = 2\left( {3 - 3b} \right)\\2a + 3b = 3 - 4c\end{array} \right..\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow P = \frac{2}{{a\left( {3b + 4c - 2} \right)}} + \frac{9}{{b\left( {4a + 8c - 3} \right)}} + \frac{8}{{c\left( {2a + 3b - 1} \right)}}\\ = \frac{2}{{a\left( {3 - 2a - 2} \right)}} + \frac{9}{{b\left( {6 - 6b - 3} \right)}} + \frac{8}{{c\left( {3 - 4c - 1} \right)}}\\ = \frac{2}{{a\left( {1 - 2a} \right)}} + \frac{3}{{b\left( {1 - 2b} \right)}} + \frac{4}{{c\left( {1 - 2c} \right)}}\\ = \frac{{2a}}{{{a^2}\left( {1 - 2a} \right)}} + \frac{{3b}}{{{b^2}\left( {1 - 2b} \right)}} + \frac{{4c}}{{{c^2}\left( {1 - 2c} \right)}}.\end{array}\)

Áp dụng bất đẳng thức AG-GM: \(abc \le {\left( {\frac{{a + b + c}}{3}} \right)^3}\)  ta có:  \({a^2}\left( {1 - 2a} \right) \le {\left( {\frac{{a + a + 1 - 2a}}{3}} \right)^3} = \frac{1}{{27}}.\)

Tương tự ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{b^2}\left( {1 - 2b} \right) \le \frac{1}{{27}}\\{c^2}\left( {1 - 2c} \right) \le \frac{1}{{27}}\end{array} \right..\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{1}{{{a^2}\left( {1 - 2a} \right)}} \ge 27;\,\,\frac{1}{{{b^2}\left( {1 - 2b} \right)}} \ge 27;\,\,\frac{1}{{{c^2}\left( {1 - 2c} \right)}} \ge 27\\ \Rightarrow \frac{{2a}}{{{a^2}\left( {1 - 2a} \right)}} + \frac{{3b}}{{{b^2}\left( {1 - 2b} \right)}} + \frac{{4c}}{{{c^2}\left( {1 - 2c} \right)}} \ge 27\left( {2a + 3b + 4c} \right)\\ \Rightarrow P \ge 27.3 = 81.\end{array}\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = b = c\\2a + 3b + 4c = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow a = b = c = \frac{1}{3}.\)

Vậy \(Min\,\,P = 81\) khi \(a = b = c = \frac{1}{3}.\)

2. Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy,\) điểm \(M\left( {a;\,\,b} \right)\) được gọi là điểm nguyên nếu cả \(a\) và \(b\) đều là số nguyên. Chứng minh rằng tồn tại điểm \(I\) trong mặt phẳng tọa độ và \(2019\) số thực dương \({R_1};\,\,{R_2};\,.....;\,{R_{2019}}\) sao cho có đúng \(k\) điểm nguyên nằm trong đường tròn \(\left( {I;\,\,{R_k}} \right)\) với mọi \(k\) là số nguyên dương không vượt quá \(2019.\) 

Xét điểm \(I\left( {\sqrt 2 ;\,\,\sqrt 3 } \right).\) Ta chứng minh khoảng cách từ \(I\) đến hai điểm nguyên khác nhau là khác nhau.

Xét hai điểm nguyên \(M\left( {a;\,\,b} \right),\,\,M'\left( {a';\,\,b'} \right)\) ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,IM = IM' \Leftrightarrow I{M^2} = IM{'^2}\\ \Leftrightarrow {\left( {a - \sqrt 2 } \right)^2} + {\left( {b - \sqrt 3 } \right)^2} = {\left( {a' - \sqrt 2 } \right)^2} + {\left( {b' - \sqrt 3 } \right)^2}\\ \Leftrightarrow {a^2} - 2\sqrt 2 a + 2 + {b^2} - 2\sqrt 3 b + 3 = a{'^2} - 2\sqrt 2 a' + 2 + b{'^2} - 2\sqrt 3 b' + 3\\ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} - a{'^2} - b{'^2} + 2\sqrt 2 \left( {a' - a} \right) + 2\sqrt 3 \left( {b' - b} \right) = 0\,\,\,\left( * \right)\end{array}\)

Giả sử các số nguyên \(m;\,\,n;\,\,p\) thỏa mãn: \(m + n\sqrt 2  + p\sqrt 3  = 0\) thì: \(m = n = p = 0.\) 

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\sqrt 2 ;\,\,\sqrt 3 ;\,\,\sqrt 6 \,\, \notin Q;\,\,m,\,\,n,\,\,p \in Q\\2\sqrt 2 mn = 3{p^2} - {m^2} - 2{n^2}\\2\sqrt 3 mp = 2{n^2} - {m^2} - 3{p^2}\\2\sqrt 5 pn = {m^2} - 2{n^2} - 3{p^2}\\m + n\sqrt 2  + p\sqrt 3  = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}mn = np = pm = 0\\m + n\sqrt 2  + p\sqrt 3  = 0\end{array} \right..\)

\( \Rightarrow \left( * \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} + {b^2} - a{'^2} - b{'^2} = 0\\2\left( {a' - a} \right) = 0\\2\left( {b' - b} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = a'\\b = b'\end{array} \right. \Rightarrow M \equiv M'.\)

Như vậy khoảng cách từ \(I\left( {\sqrt 2 ;\,\,\sqrt 3 } \right)\) đến hai điểm nguyên khác nhau là khác nhau.

Xét tất cả các khoảng cách từ các điểm nguyên đến \(I,\) các khoảng cách này đôi một phân biệt. Gọi \(S\) là tập hợp các số thực bằng các khoảng cách từ tất cả các điểm nguyên đến \(I.\)

Ta có thể chọn được \(2020\) số dương nhỏ nhất thuộc \(S\) và được sắp xếp theo thứu tự tăng dần, nghĩa là tồn tại các số dương \({s_1};\,\,{s_2};......;\,\,{s_{2020}}\) thuộc tập \(S\) thỏa mãn \({s_p} < {s_q}\) nếu \(p < q,\) các số thuộc \(S\backslash \left\{ {{s_1};\,\,{s_2};......;\,{s_{2020}}} \right\}\) đều lớn hơn \({s_1};\,{s_2};.....;\,\,{s_{2020}}.\)

Đặt \({R_k} = \frac{{{s_k} + {s_{k + 1}}}}{2},\,\,k = 1;\,\,2;\,3;......;\,\,2019.\)

Như vậy tồn tại điểm \(I\) trong mặt phẳng tọa độ và \(2019\) số thực dương \({R_1};\,\,{R_2};\,.....;\,{R_{2019}}\) sao cho có đúng \(k\) điểm nguyên nằm trong đường tròn \(\left( {I;\,\,{R_k}} \right)\) với mọi \(k\) là số nguyên dương không vượt quá \(2019.\)   

Chọn C.