Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, tìm điểm M trong...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Trong các đoạn thẳng nối từ một điểm đến một đường thẳng, đoạn vuông góc với đường thẳng có độ dài ngắn nhất.

Giải chi tiết:

Xét một điểm M bất kì trong tam giác, tia AM cắt cạnh BC ở D .

Kẻ \(BE \bot AD,\,\,CF \bot AD\). Ta có:

\(BE \le BD\)\( \Rightarrow AM.BE \le AM.BD\)

\(CF \le CD \Rightarrow AM.CF \le AM.CD\)

\( \Rightarrow \left( {BE + CF} \right).AM \le \left( {BD + CD} \right).AM\).

Nhưng:

\(\begin{array}{l}BE.AM = 2{S_{AMB}}\\CF.AM = 2{S_{AMC}}\\BD + DC = BC\end{array}\)

Do đó \(2\left( {{S_{AMB}} + {S_{AMC}}} \right) \le BC.AM\).

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi E và F trùng với D. Khi đó \(AM \bot BC\).

Tương tự ta có:

\(\begin{array}{l}2\left( {{S_{ABM}} + {S_{CBM}}} \right) \le AC.BM\,\,\,\left( 2 \right)\\2\left( {{S_{CBM}} + {S_{ACM}}} \right) \le AB.CM\,\,\,\left( 3 \right)\end{array}\)

Từ (1), (2), (3) ta suy ra: \(4\left( {{S_{ABM}} + {S_{ACM}} + {S_{CBM}}} \right) \le MA.BC + MB.CA + MC.AB\).

Do dó: \(\min \left( {MA.BC + MB.CA + MC.AB} \right) = 4{S_{ABC}}\) khi và chỉ khi \(AM \bot BC\), \(BM \bot AC\), \(CM \bot AB\), khi đó M là trực tâm của \(\Delta ABC\).