Cho tam giác \(ABC\) cân tại \(A,\,\) \(\angle BAC...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất tam giác đều, tam giác bằng nhau và biến đổi góc.

Giải chi tiết:

Dựng tam giác đều \(BMD\) sao cho \(A,\,\,D\) nằm cùng phía đối với \(BM.\)

\(\Delta ABC\) cân tại \(A\) có \(\angle BAC = {100^0}\)\( \Rightarrow \angle ABC = \angle ACB = \dfrac{{{{180}^0} - {{100}^0}}}{2} = {40^0}\)\( \Rightarrow \angle ACM = {20^0}.\)

Ta có \(\widehat {BMC} = {180^0} - \widehat {MBC} - \widehat {MCB} = {150^0}\)

\( \Rightarrow \widehat {DMC} = {360^0} - \widehat {BMC} - \widehat {BMD} = {360^0} - {150^0} - {60^0} = {150^0}\)

Xét \(\Delta CMD\) và \(\Delta CMB\) ta có

\(MC\) chung

\(BM = MD\)

\(\widehat {CMB} = \widehat {CMD} = {150^0}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \Delta CMD = \Delta CMB\,\,\left( {c.g.c} \right)\\ \Rightarrow \angle MCD = \angle MCB = {20^0} = \angle MCA\end{array}\)

\( \Rightarrow C,\,\,A,\,\,D\) thẳng hàng.

Ta có: \(\angle ABM = \angle ABC - \angle MBC = {40^0} - {10^0} = {30^0}\)

          \(\angle DBM = {60^0} \Rightarrow \angle DBA = \angle DBM - \angle ABM = {30^0}\)

Dễ dàng chứng minh được \(\Delta ABD = \Delta ABM\,\,\left( {c.g.c} \right).\)

\( \Rightarrow AD = AM \Rightarrow \Delta ADM\) cân tại \(A\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \angle AMD = \angle ADM = {180^0} - \angle DMC - \angle MCD\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {180^0} - {150^0} - {20^0} = {10^0}\end{array}\)

\( \Rightarrow \angle AMB = \angle AMD + \angle DMB = {60^0} + {10^0} = {70^0}.\)