Cho tam giác \(ABC\) có đường cao \(AH\). Kẻ ra ph...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

a) Chứng minh \(\Delta IEM = \Delta MFK\,\,\left( {c.g.c} \right)\).

b) Chứng minh \(\angle IHK = \angle IMK\).

Giải chi tiết:

a) Đặt \(\angle BAI = \angle CAK = \alpha .\)

Gọi \(E,\,\,F\) lần lượt là trung điểm \(AB,\,\,AC.\) Ta có:

\(IE = \dfrac{{AB}}{2}\) (định lí đường trung tuyến trong tam giác vuông)

\(MF = \dfrac{{AB}}{2}\) (\(MF\) là đường trung bình của tam giác \(ABC\))

\( \Rightarrow IE = MF\).

Chứng minh tương tự ta có: \(EM = \dfrac{{AC}}{2} = FK.\)

Ta có: \(\angle {E_1} = 2\alpha \) (góc ngoài bằng tổng hai góc trong không kề với nó)

           \(\angle {E_2} = \angle {M_2}\) (so le trong do \(AB\parallel MF\))

\( \Rightarrow \angle IEM = \angle {E_1} + \angle {E_2} = 2\alpha  + \angle {M_2}\)

Chứng minh tương tự ta có: \(\angle MFK = 2\alpha  + \angle {M_2}\).

\( \Rightarrow \angle IEM = \angle MFK\)

\( \Rightarrow \Delta IEM = \Delta MFK\,\,\left( {c.g.c} \right)\)

\( \Rightarrow MI = MK\) (hai cạnh tương ứng).

b) Ta có: Tứ giác \(AHBI\) có \(\angle AHB + \angle AIB = {180^0}\) nên là tứ giác nội tiếp.

\( \Rightarrow \angle BHI = \angle BAI = \alpha \) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(BI\)).

Chứng minh tương tự ta có: \(\angle CHK = \angle CAK = \alpha \).

 \( \Rightarrow \angle IHK = {180^0} - 2\alpha \)

Xét \(\Delta IEM\) có \(\widehat {{E_1}} = 2\alpha  \Rightarrow {180^0} - 2\alpha  = \widehat {{E_2}} + \widehat {{M_1}} + \widehat {{I_1}}\,\,\,\left( 1 \right)\)

Lại có \(\widehat {{E_2}} = \widehat {{M_2}}\) (so le trong, \(AB//MF\)), \(\widehat {{I_1}} = \widehat {{M_3}}\) (do \(\Delta IEM = \Delta MFK\))

\( \Rightarrow {180^0} - 2\alpha  = \widehat {{M_1}} + \widehat {{M_2}} + \widehat {{M_3}} = \widehat {IMK}\,\,\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right),\left( 2 \right) \Rightarrow \widehat {IHK} = \widehat {IMK}.\) Vậy \(I,H,M,K\) cùng thuộc một đường tròn.