Cho tam giác ABC thỏa mãn hệ thức \(m_a^2 = m_b^2...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức trung tuyến: \(\eqalign{  & m_a^2 = {{{b^2} + {c^2}} \over 2} - {{{a^2}} \over 4}  \cr   & m_b^2 = {{{a^2} + {c^2}} \over 2} - {{{b^2}} \over 4}  \cr   & m_c^2 = {{{a^2} + {b^2}} \over 2} - {{{c^2}} \over 4} \cr} \), công thức định lí cosin: \({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\,cosA\) và công thức tính diện tích \(S = {1 \over 2}bc\sin A\).

Giải chi tiết:

\(\eqalign{  & \left\{ \matrix{  {a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\,cosA \Rightarrow {b^2} + {c^2} - {a^2} = 2bc.\cos A \hfill \cr   S = {1 \over 2}bc\sin A \Rightarrow bc = {{2S} \over {\sin A}} \hfill \cr}  \right.  \cr   & m_a^2 = m_b^2 + m_c^2 \Leftrightarrow {{{b^2} + {c^2}} \over 2} - {{{a^2}} \over 4} = {{{a^2} + {c^2}} \over 2} - {{{b^2}} \over 4} + {{{a^2} + {b^2}} \over 2} - {{{c^2}} \over 4}  \cr   &  \Leftrightarrow 2{b^2} + 2{c^2} - {a^2} = 2{a^2} + 2{c^2} - {b^2} + 2{a^2} + 2{b^2} - {c^2} \Leftrightarrow {b^2} + {c^2} = 5{a^2}  \cr   &  \Leftrightarrow {b^2} + {c^2} - {a^2} = 4{a^2} \Leftrightarrow 2bc\cos A = 4{a^2} \Leftrightarrow {a^2} = {{bc\cos A} \over 2}  \cr   &  \Leftrightarrow {a^2} = {{S.\cos A} \over {\sin A}} \Leftrightarrow {a^2} = S.\cot A \cr} \).

Chọn A.