Cho \(\Delta ABC\) có hai trung tuyến \(BM,\,\,CN\...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức trung tuyến  \(\eqalign{  & m_b^2 = {{{a^2} + {c^2}} \over 2} - {{{b^2}} \over 4}  \cr   & m_c^2 = {{{a^2} + {b^2}} \over 2} - {{{c^2}} \over 4} \cr} \),  tính chất của trọng tâm và công thức định lý Pitago.

Giải chi tiết:

Ta có:

\(\eqalign{  & m_b^2 = {{{a^2} + {c^2}} \over 2} - {{{b^2}} \over 4}  \cr   & m_c^2 = {{{a^2} + {b^2}} \over 2} - {{{c^2}} \over 4} \cr} \)

\(BM \cap CN = \left\{ G \right\} \Rightarrow \) G là trọng tâm \(\Delta ABC \Rightarrow BG = {2 \over 3}{m_b};\,\,\,CG = {2 \over 3}{m_c}\)

\(BM \bot CN \Leftrightarrow \Delta BGC\) vuông tại G.

\(\eqalign{  &  \Leftrightarrow B{G^2} + C{G^2} = B{C^2}  \cr   &  \Leftrightarrow {\left( {{2 \over 3}{m_b}} \right)^2} + {\left( {{2 \over 3}{m_c}} \right)^2} = {a^2}  \cr   &  \Leftrightarrow {4 \over 9}\left( {{{{a^2} + {c^2}} \over 2} - {{{b^2}} \over 4}} \right) + {4 \over 9}\left( {{{{a^2} + {b^2}} \over 2} - {{{c^2}} \over 4}} \right) = {a^2}  \cr   &  \Leftrightarrow 2\left( {{a^2} + {c^2}} \right) - {b^2} + 2\left( {{a^2} + {b^2}} \right) - {c^2} = 9{a^2}  \cr   &  \Leftrightarrow 2{a^2} + 2{c^2} - {b^2} + 2{a^2} + 2{b^2} - {c^2} = 9{a^2}  \cr   &  \Leftrightarrow {b^2} + {c^2} = 5{a^2} \cr} \)

Chọn D