Cho phương trình: \({x^2} + {y^2} + {{\rm{z}}^2} =...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

a)      Sử dụng các tính chất của chia hết.

b)      Giả sử a là số nhỏ nhất trong 3 số a, b, c thỏa mãn \({a^2} + {b^2} + {c^2} = 3abc. \Rightarrow \min \left\{ {a;b;c} \right\} = a\)

Chứng minh \(\exists a' = a + d\,\,\left( {d > 0} \right)\) cũng thỏa mãn phương trình trên \( \Rightarrow \min \left\{ {a';b;c} \right\} > \min \left\{ {a;b;c} \right\}\).

Lặp lại quá trình trên không quá 2017 lần ta được \(\min \left\{ {a;b;c} \right\} > 2017\) .

Giải chi tiết:

a)      Giả sử phương trình có nghiệm nguyên dương là ( x; y; y). Khi đó thay vào phương trình trên ta được:

\(\begin{array}{l}{x^2} + {y^2} + {y^2} = 3x{y^2} \Leftrightarrow {x^2} + 2{y^2} = 3x{y^2} \Leftrightarrow {x^2} = {y^2}\left( {3x - 2} \right)\\ \Rightarrow {x^2} \vdots {y^2} \Rightarrow x = ty\\ \Rightarrow {t^2}{y^2} + 2{y^2} = 3ty.{y^2} \Leftrightarrow {t^2} + 2 = 3ty \Rightarrow 2 = t\left( {3y - t} \right) \Rightarrow 2 \vdots t.\end{array}\)

Với \(t = 1\) ta suy ra \(x = y = 1.\)

Với \(t = 2\) ta suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2y\\6 = 6y\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 1\end{array} \right.\)

Do đó phương trình đã cho có 2 nghiệm nguyên dương dạng (x ; y ; y) là \(\left( {1;1;1} \right);\,\,\left( {2;1;1} \right)\).

b)      Ta có : x = 1 ; y = 2 ; z = 5 là 1 nghiệm của phương trình đã cho.

Giả sử a là số nhỏ nhất trong 3 số đã cho thỏa mãn : \({a^2} + {b^2} + {c^2} = 3abc.\)

Xét phương trình :

\({\left( {a + d} \right)^2} + {b^2} + {c^2} = 3(a + d)bc \Rightarrow 2ad + {d^2} = 3bcd \Rightarrow d = 3b - 2a.\)

Do đó phương trình (1) có nghiệm (a’; b ; c) với a’ = a + d.

Do a < b < c nên min{ a’; b; c} > min{ a, b, c}.

Lặp lại quá trình trên không quá 2017 lần ta được min{a, b, c} > 2017.