a)     Cho các số hữu tỉ a, b, c thỏa mãn: ab + bc...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Sử dụng khái niệm và tính chất của số hữu tỉ.

+) Sử dụng tính chất chia hết.

Giải chi tiết:

a)     Thay ab + ac + bc = 2017 vào giá trị biểu thức ta được :

\(\begin{array}{l}
\sqrt {({a^2} + 2017)({b^2} + 2017)({c^2} + 2017)} \\
= \sqrt {({a^2} + ab + ac + bc)({b^2} + ab + ac + bc)({c^2} + ab + ac + bc)} \\
= \sqrt {(a + b)(a + c)(b + c)(b + a)(c + b)(c + a)} \\
= (a + b)(a + c)(b + c).
\end{array}\)

Vì \(a,\ b,\ c\) là các số hữu tỉ \(\Rightarrow \left( a+b \right),\ \left( a+c \right),\ \left( b+c \right)\) là các số hữu tỉ.

\(\Rightarrow \left( a+b \right)\left( a+c \right)\left( b+c \right)\) là số hữu tỉ.

Vậy ta có điều phải chứng minh.

b)     Ta có 7 là 1 ước của 714 nên

\(\left\{ \begin{array}{l}
7{x^2} + 3{y^2} = 714 \vdots 7\\
7{x^2} \vdots 7
\end{array} \right. \to 3{y^2} \vdots 7 \to {y^2} \vdots 7\)

Mặt khác : \(3{{y}^{2}}\le 714\Rightarrow {{y}^{2}}\le 102\Rightarrow y\in \text{ }\!\!\{\!\!\text{ 1;}\ \text{7 }\!\!\}\!\!\text{ }\)

Với y = 7 thì \(7{{x}^{2}}=567\Leftrightarrow {{x}^{2}}=81\Rightarrow x=9\ \ \left( tm \right)\)

Với y = 1 thì \(7{{x}^{2}}=711\Rightarrow {{x}^{2}}=\frac{711}{7}\) (vô lý).

Vậy phương trình đã cho có nghiệm nguyên dương (x ; y) duy nhất là (9 ; 7).

 Chọn B