Cho \(a;\;b\) thoả mãn \(\left| a \right| \ge 2;\;...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Xét hiệu \(M = \left( {{a^2} + 1} \right)\left( {{b^2} + 1} \right) - \left( {a + b} \right)\left( {ab + 1} \right) - 5\).

Phân tích và chứng minh \(M \ge 0.\)

Giải chi tiết:

Xét hiệu

\(\begin{array}{l}M = \left( {{a^2} + 1} \right)\left( {{b^2} + 1} \right) - \left( {a + b} \right)\left( {ab + 1} \right) - 5\\M = {a^2}{b^2} + {a^2} + {b^2} + 1 - {a^2}b - a - a{b^2} - b - 5\\M = \left( {{a^2}{b^2} - {a^2}b - a{b^2} + ab} \right) + \left( {{a^2} + {b^2} - a - b - ab} \right) - 4\\M = \left[ {{a^2}b\left( {b - 1} \right) - ab\left( {b - 1} \right)} \right] + \frac{1}{2}\left[ {\left( {{a^2} + {b^2} - 2ab} \right) + \left( {{a^2} - 2a} \right) + \left( {{b^2} - 2b} \right)} \right] - 4\\M = ab\left( {a - 1} \right)\left( {b - 1} \right) + \frac{1}{2}\left[ {{{\left( {a - b} \right)}^2} + a\left( {a - 2} \right) + b\left( {b - 2} \right)} \right] - 4\end{array}\)

Chỉ ra với \(\left| a \right| \ge 2\) thì \(a\left( {a - 1} \right) \ge 2\) và \(a\left( {a - 2} \right) \ge 0\)

                 \(\left| b \right| \ge 2\) thì \(b\left( {b - 1} \right) \ge 2\) và \(b\left( {b - 2} \right) \ge 0\)

nên \(ab\left( {a - 1} \right)\left( {b - 1} \right) \ge 4;\,\,\frac{1}{2}\left[ {{{\left( {a - b} \right)}^2} + a\left( {a - 2} \right) + b\left( {b - 2} \right)} \right] \ge 0\).

\( \Rightarrow M \ge 0\)hay \(\left( {{a^2} + 1} \right)\left( {{b^2} + 1} \right) \ge \left( {a + b} \right)\left( {ab + 1} \right) + 5\).