Cho \(\Delta ABC\) cân tại A. Trên tia đối của tia...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Áp dụng tính chất tam giác cân, tính chất đường trung trực của đoạn thẳng.

Giải chi tiết:

Vì BM và CN là đường trung tuyến thuộc cạnh đáy AD và AC của tam giác cân ABD và ACE nên BM là đường trung trực của AD, CN là đường trung trực của AE.

Vì O là giao điểm của BM và CN nên ta có: \(\left\{ \begin{align}  & OA=OD \\  & OA=OE \\ \end{align} \right.\Rightarrow OD=OE\)

Vậy O thuộc đường trung trực của DE. (1)

\(\Delta ABC\) cân tại A (gt) \(\Rightarrow \widehat{ABC}=\widehat{ACB}\) (tính chất tam giác cân)

Mà: \(\left\{ \begin{align}  & \widehat{ABC}+\widehat{ABD}={{180}^{0}} \\  & \widehat{ACE}+\widehat{ACB}={{180}^{0}} \\ \end{align} \right.\) (kề bù) \(\Rightarrow \widehat{ABD}=\widehat{ACE}\) .

Vì \(\Delta ABC\) cân tại A (gt) \(\Rightarrow AB=AC\) (tính chất tam giác cân) mà \(\left\{ \begin{align}  & BD=AB \\  & CE=AC \\ \end{align} \right.\left( gt \right)\Rightarrow AB=AC=BD=CE.\)

Xét \(\Delta ABD\) và \(\Delta ACE\) có:

\(\left\{ \begin{align}  & AB=AC \\  & \widehat{ABD}=\widehat{ACE} \\  & DB=CE \\ \end{align} \right.\left( cmt \right)\Rightarrow \Delta ABD=\Delta ACE\left( c-g-c \right)\Rightarrow AD=AE\) (2 cạnh tương ứng)

Vậy A thuộc đường trung trực của DE. (2)

Từ (1) và (2) suy ra AO là đường trung trực của DE. Vậy \(AO\bot DE.\)