Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) có u

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Tìm GTNN của biểu thức \({u_4} + \frac{{1024}}{{{u_7}}}\), từ đó suy ra công bội q.

+) \(S = {S_{20}} - {S_{10}}\)

+) Sử dụng công thức tổng k số hạng đầu tiên của cấp số nhân  \({S_k} = \frac{{{a_1}\left( {1 - {q^k}} \right)}}{{1 - q}}\)

Giải chi tiết:

Gọi q là công bội của cấp số nhân (q > 0).

Ta có \({u_4} + \frac{{1024}}{{{u_7}}} = 2{q^3} + \frac{{1024}}{{{u_1}{q^6}}} = 2{q^3} + \frac{{512}}{{{q^6}}} = {q^3} + {q^3} + \frac{{512}}{{{q^6}}} \ge 3\sqrt[3]{{{q^3}.{q^3}.\frac{{512}}{{{q^6}}}}} = 24\)

Suy ra giá trị nhỏ nhất của \({u_4} + \frac{{1024}}{{{u_7}}}\) bằng 24, đạt được khi và chỉ khi \({q^3} = \frac{{512}}{{{q^6}}} \Leftrightarrow {q^9} = 512 \Leftrightarrow q = 2\).

Khi đó ta có

\(\begin{array}{l}{S_{10}} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^{10}}} \right)}}{{1 - q}} = \frac{{2\left( {1 - {2^{10}}} \right)}}{{1 - 2}} = 2046\\{S_{20}} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^{20}}} \right)}}{{1 - q}} = \frac{{2\left( {1 - {2^{20}}} \right)}}{{1 - 2}} = 2097150\\\Rightarrow {u_{11}} + {u_{12}} + {u_{13}} + ... + {u_{20}} = 2097150 - 2046 = 2095104\end{array}\)

 Chọn C.