Xét các số thực dương x, y thỏa mãn \({\log _3}{{1...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức \({\log _a}bc = {\log _a}b + {\log _a}c\,\,\,\left( {b,c > 0,0 < a \ne 1} \right)\), biến đổi và xét hàm số đặc trưng \(f\left( t \right) = {\log _3}t + t\), chứng minh hàm số \(y = f\left( t \right)\) luôn đồng biến sau đó suy ra mối quan hệ giữa x và y.

Đưa biểu thức P về 1 biến x hoặc y, lập BBT và suy ra GTNN của P.

Giải chi tiết:

ĐK: \(\left\{ \matrix{  {{1 - xy} \over {x + 2y}} > 0 \hfill \cr   x + 2y \ne 0 \hfill \cr   x,y > 0 \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow 1 - xy > 0 \Rightarrow xy < 1 \Rightarrow x < {1 \over y}\)

\(\eqalign{  & {\log _3}{{1 - xy} \over {x + 2y}} = 3xy + x + 2y - 4  \cr   &  \Leftrightarrow {\log _3}\left( {1 - xy} \right) - {\log _3}\left( {x + 2y} \right) = 3xy + x + 2y - 4  \cr   &  \Leftrightarrow {\log _3}\left( {1 - xy} \right) - 3xy + 4 = {\log _3}\left( {x + 2y} \right) + x + 2y  \cr   &  \Leftrightarrow \left[ {{{\log }_3}\left( {1 - xy} \right) + 1} \right] + \left( {3 - 3xy} \right) = {\log _3}\left( {x + 2y} \right) + x + 2y  \cr   &  \Leftrightarrow {\log _3}\left( {3 - 3xy} \right) + \left( {3 - 3xy} \right) = {\log _3}\left( {x + 2y} \right) + x + 2y\,\,\left( * \right) \cr} \).

Xét hàm số đặc trưng \(f\left( t \right) = {\log _3}t + t\,\,\left( {t > 0} \right) \Rightarrow f'\left( t \right) = {1 \over {t\ln 3}} + 1 > 0\,\,\forall t > 0 \Rightarrow \) hàm số y = f(t) luôn đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).

Mà từ (*) ta có: \(f\left( {3 - 3xy} \right) = f\left( {x + 2y} \right),\) do đó \(3 - 3xy = x + 2y \Leftrightarrow x\left( {1 + 3y} \right) = 3 - 2y \Leftrightarrow x = {{3 - 2y} \over {1 + 3y}}\) (vì y > 0).

Ta có: \(x < {1 \over y} \Rightarrow {{3 - 2y} \over {1 + 3y}} < {1 \over y} \Rightarrow {{3y - 2{y^2} - 1 - 3y} \over {\left( {1 + 3y} \right)y}} < 0 \Leftrightarrow  - 2{y^2} - 1 < 0\) (luôn đúng).

Khi đó \(P = x + y = {{3 - 2y} \over {1 + 3y}} + y = {{3 - 2y + y + 3{y^2}} \over {1 + 3y}} = {{3{y^2} - y + 3} \over {1 + 3y}} = f\left( y \right)\).

Ta có: \(f'\left( y \right) = {{\left( {6y - 1} \right)\left( {1 + 3y} \right) - 3\left( {3{y^2} - y + 3} \right)} \over {{{\left( {1 + 3y} \right)}^2}}} = {{9{y^2} + 6y - 10} \over {{{\left( {1 + 3y} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{  {y_1} = {{ - 1 + \sqrt {11} } \over 3} \hfill \cr   {y_2} = {{ - 1 - \sqrt {11} } \over 3} \hfill \cr}  \right.\)

BBT:

Dựa vào BBT ta thấy hàm số đạt GTNN tại \(y = {y_1}\), khi đó \({P_{\min }} = f\left( {{y_1}} \right) = {{2\sqrt {11}  - 3} \over 3}.\)

Chọn D.