Cho tích phân \(I = \int\limits_0^1 {x\left( {ax +...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

\(I = \int\limits_0^1 {x\left( {ax + b\sqrt {3{x^2} + 1} } \right)dx}  = a\int\limits_0^1 {{x^2}dx}  + b\int\limits_0^1 {x\sqrt {3{x^2} + 1} dx}  = {I_1} + {I_2}\)

Sử dụng phương pháp đổi biến số, đặt \(t = \sqrt {3{x^2} + 1} \) để tính \({I_2}.\)

Tính I theo a, b. Kết hợp giả thiết \(3b - 2a = 5\), tìm a và b. Tính M.

Giải chi tiết:

\(I = \int\limits_0^1 {x\left( {ax + b\sqrt {3{x^2} + 1} } \right)dx}  = a\int\limits_0^1 {{x^2}dx}  + b\int\limits_0^1 {x\sqrt {3{x^2} + 1} dx}  = \left. {a{{{x^3}} \over 3}} \right|_0^1 + b{I_1} = {a \over 3} + b{I_1}\)

Đặt \(t = \sqrt {3{x^2} + 1}  \Rightarrow {t^2} = 3{x^2} + 1 \Leftrightarrow 2tdt = 6xdx \Rightarrow xdx = {{tdt} \over 3}\)

Đổi cận: \(\left\{ \matrix{  x = 0 \Rightarrow t = 1 \hfill \cr               x = 1 \Rightarrow t = 2 \hfill \cr}  \right.\), khi đó \({I_1} = \int\limits_1^2 {{{tdt} \over 3}.t}  = \left. {{1 \over 3}{{{t^3}} \over 3}} \right|_1^2 = {8 \over 9} - {1 \over 9} = {7 \over 9}.\)

\( \Rightarrow I = {a \over 3} + {{7b} \over 9} = 3\).

Khi đó ta có hệ phương trình \(\left\{ \matrix{  {a \over 3} + {{7b} \over 9} = 3 \hfill \cr   3b - 2a = 5 \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{  a = 2 \hfill \cr   b = 3 \hfill \cr}  \right. \Rightarrow M = {a^2} - {b^2} =  - 5\)

Chọn A.