Gọi \(a,\,\,b\) lần lượt là hệ số của các số hạng...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tổng quát \({\left( {a + b} \right)^n} = \sum\limits_{k\, = \,0}^n {C_n^k} .{a^{n\, - \,k}}.{b^k}\) để tìm các số hạng chứa \({x^2}\) và \({x^5}\) trong các khai triển và dựa vào giả thiết a = 48b để tìm n.

Thay n vào tính giá trị biểu thức P.

Giải chi tiết:

Số hạng tổng quát của khai triển \({\left( {\sqrt x  + {2 \over x}} \right)^n}\) là \(C_n^k.{\left( {\sqrt x } \right)^{n\, - \,k}}.{\left( {{2 \over x}} \right)^k} = C_n^k{.2^k}.{x^{{{n\, - \,3k} \over 2}}}.\)

\( \bullet \)    Số hạng chứa \({x^2}\) khi \({{n - 3k} \over 2} = 2 \Leftrightarrow k = {{n - 4} \over 3}.\) Do đó \(a = C_n^{{{n\, - \,4} \over 3}}{.2^{{{n\, - \,4} \over 3}}}.\)

\( \bullet \)    Số hạng chứa \({x^5}\) khi \({{n - 3k} \over 2} = 5 \Leftrightarrow k = {{n - 10} \over 3}.\) Do đó \(b = C_n^{{{n\, - \,10} \over 3}}{.2^{{{n\, - \,10} \over 3}}}.\)

Theo giả thiết, ta có \(a = 48b \Leftrightarrow C_n^{{{n\, - \,4} \over 3}}{.2^{{{n\, - \,4} \over 3}}} = 48.C_n^{{{n\, - \,10} \over 3}}{.2^{{{n\, - \,10} \over 3}}} = 48.C_n^{{{n\, - \,4} \over 3}\, - \,2}{.2^{{{n\, - \,4} \over 3}\, - \,2}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left(  *  \right).\)

Đặt \(m = {{n - 4} \over 3} \Rightarrow n = 3m + 4\),  khi đó

\(\eqalign{  & \left(  *  \right) \Leftrightarrow C_n^m{.2^m} = 48.C_n^{m - 2}{.2^{m - 2}} \Leftrightarrow {{n!} \over {\left( {m - n} \right)!m!}}{.2^2}{.2^{m - 2}} = 48.{{n!} \over {\left( {m - n + 2} \right)!\left( {m - 2} \right)!}}{2^{m - 2}}  \cr   &  \Leftrightarrow {1 \over {m\left( {m - 1} \right)}} = {{12} \over {\left( {m - n + 2} \right)\left( {m - n + 1} \right)}}  \cr   &  \Leftrightarrow \left( {n - m + 2} \right)\left( {n - m + 1} \right) = 12m\left( {m - 1} \right)  \cr   &  \Leftrightarrow \left( {2m + 6} \right)\left( {2m + 5} \right) = 12m\left( {m - 1} \right)  \cr   &  \Leftrightarrow 4{m^2} + 22m + 30 = 12{m^2} - 12m  \cr   &  \Leftrightarrow m = 5 \Rightarrow n = 3m + 4 = 19. \cr} \)

Vậy giá trị của biểu thức \(P = 3A_{19}^2 + 2C_{19}^3 = 2964.\)

Chọn C