Giá trị \(\lim \sqrt {\dfrac{{{1^2} + {2^2} + {3^2...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Tính tổng \({1^2} + {2^2} + ... + {n^2}\)

+) Sử dụng MTCT để tính giới hạn

Giải chi tiết:

Ta có:

\(\begin{array}{l}
{2^3} = {\left( {1 + 1} \right)^3} = {1^3} + {3.1^2} + 3.1 + 1\\
{3^3} = {\left( {2 + 1} \right)^3} = {2^3} + {3.2^2} + 3.2 + 1\\
{4^3} = {\left( {3 + 1} \right)^3} = {3^3} + {3.3^2} + 3.3 + 1\\
....\\
{\left( {n + 1} \right)^3} = {n^3} + 3{n^2} + 3n + 1\\
\Rightarrow {2^3} + {3^3} + ... + {\left( {n + 1} \right)^3} = {1^3} + {2^3} + ... + {n^3} + 3\left( {{1^2} + {2^2} + ... + {n^2}} \right) + 3\left( {1 + 2 + 3 + ... + n} \right) + n\\
\Leftrightarrow {\left( {n + 1} \right)^3} = 1 + 3\left( {{1^2} + {2^2} + ... + {n^2}} \right) + 3\dfrac{{\left( {n + 1} \right)n}}{2} + n\\
\Leftrightarrow 3\left( {{1^2} + {2^2} + ... + {n^2}} \right) = {n^3} + 3{n^2} + 3n + 1 - 1 - \dfrac{3}{2}{n^2} - \dfrac{3}{2}n - n\\
\Leftrightarrow 3\left( {{1^2} + {2^2} + ... + {n^2}} \right) = {n^3} + \dfrac{3}{2}{n^2} + \dfrac{1}{2}n = \dfrac{{2{n^3} + 3n + n}}{2}\\
\Leftrightarrow {1^2} + {2^2} + ... + {n^2} = \dfrac{{2{n^3} + 3n + n}}{6} = \dfrac{{n\left( {n + 1} \right)\left( {2n + 1} \right)}}{6}\\
\Rightarrow \dfrac{{{1^2} + {2^2} + {3^2} + ... + {n^2}}}{{2n\left( {6n + 5} \right)\left( {n + 7} \right)}} = \dfrac{{n\left( {n + 1} \right)\left( {2n + 1} \right)}}{{12n\left( {6n + 5} \right)\left( {n + 7} \right)}}
\end{array}\)

Nhập \(\sqrt {\dfrac{{n\left( {n + 1} \right)\left( {2n + 1} \right)}}{{12n\left( {6n + 5} \right)\left( {n + 7} \right)}}} \) vào MTCT , nhấn [CALC], chọn \(x = {10^{10}}\) ta thu được kết quả \( = \dfrac{1}{6} \Rightarrow \lim \sqrt {\dfrac{{{1^2} + {2^2} + {3^2} + ... + {n^2}}}{{2n\left( {6n + 5} \right)\left( {n + 7} \right)}}}  = \dfrac{1}{6}\)

Chọn D.