Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạn...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng các phương pháp xác định góc – khoảng cách trong không gian

Giải chi tiết:

Gọi G là trọng tâm của tam giác MBC suy ra \(SG\bot \left( ABC \right)\).

Từ G kẻ \(GH\bot AB\), kẻ \(GK\bot SH\) với \(H\in AB,\,\,K\in SH\)ta có:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}AB \bot GH\\AB \bot SG\end{array} \right. \Rightarrow AB \bot \left( {SGH} \right) \Rightarrow AB \bot GK\\\left\{ \begin{array}{l}GK \bot SH\\GK \bot AB\end{array} \right. \Rightarrow GK \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow d\left( {G;\left( {SAB} \right)} \right) = GK\end{array}\) .

Gọi I là trung điểm của BM.

Ta có \(IC=\sqrt{M{{C}^{2}}+M{{I}^{2}}}=\frac{a\sqrt{13}}{4}\), \(GC=\frac{2}{3}IC=\frac{a\sqrt{13}}{6}\).

\(\Rightarrow SG=\sqrt{S{{C}^{2}}-G{{C}^{2}}}=\frac{a\sqrt{3}}{6};GH=\frac{1}{3}MC=\frac{1}{3}\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{6}\).

Do đó \(\Delta SGH\) vuông cân tại \(G\) nên \(GK=\frac{1}{2}SH=\frac{1}{2}.\frac{a\sqrt{6}}{6}=\frac{a\sqrt{6}}{12}\)

Chọn A.