Số các giá trị nguyên của m để phương trình \(\lef...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

Phương pháp: Biến đổi, đưa phương trình trên về dạng phương trình tích, sử dụng công thức nhân đôi của cos.

Cô lập m đưa phương trình về dạng \(f\left( x \right)=m\). Số nghiệm của phương trình chính là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y=f\left( x \right)\) và đường thẳng y = m song song với trục hoành.

Cách giải

\(\begin{array}{l}\left( {\cos x + 1} \right)\left( {4\cos 2x - m\cos x} \right) = m{\sin ^2}x\\ \Leftrightarrow \left( {\cos x + 1} \right)\left( {4.\cos 2x - m\cos x} \right) = m\left( {1 - {{\cos }^2}x} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {\cos x + 1} \right)\left( {4.\cos 2x - m\cos x} \right) = m\left( {1 + \cos x} \right)\left( {1 - \cos x} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {\cos x + 1} \right)\left( {4\cos 2x - m\cos x - m\left( {1 - \cos x} \right)} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {\cos x + 1} \right)\left( {4\cos 2x - m} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x + 1 = 0\\4\cos 2x - m = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \pi + k2\pi \\\cos 2x = \frac{m}{4}\,\,\left( * \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Xét nghiệm \(x=\pi +k2\pi \,\,\left( k\in Z \right)\notin \left[ 0;\frac{2\pi }{3} \right]\,\,\forall k\in Z\)

Để phương trình ban đầu có đúng 2 nghiệm thuộc \(\left[ 0;\frac{2\pi }{3} \right]\) thì phương trình (*)có 2 nghiệm phân biệt thuộc \(\left[ 0;\frac{2\pi }{3} \right]\).

Xét hàm số \(y=\cos 2x\) trên \(\left[ 0;\frac{2\pi }{3} \right]\) ta có: \(y'=-2\sin 2x=0\Leftrightarrow \sin 2x=0\Rightarrow 2x=k\pi \Rightarrow x=\frac{k\pi }{2}\,\,\left( k\in Z \right)\)

Mà \(x\in \left[ 0;\frac{2\pi }{3} \right]\Rightarrow x=\frac{\pi }{2}\)

BBT:

Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thì \(-1<\frac{m}{4}\le -\frac{1}{2}\Leftrightarrow -4<m\le -2\)

Mà \(m\in Z\Rightarrow m\in \left\{ -3;-2 \right\}\)

Chọn C.