Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có cạnh đáy...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Trong mặt phẳng \(\left( SAC \right)\) kẻ \(MO'//SO.\) Từ \(O'\) kẻ \(O'H\bot AB\) khi đó \(O'H=\frac{1}{4}CB.\)

Từ \(O'\) kẻ \(O'K\bot AD.\) Từ \(O'\) kẻ \(O'I\bot MK.\) Ta chứng minh khoảng cách giữa hai đường thẳng \(BC\) và \(DM\) bằng \(4OI'.\)

Sử dụng định lý cos trong tam giác để tính \(O'N.\) Sử dụng định lý Py-ta-go cho tam giác vuông để tính \(MK.\) Sử dụng công thức diện tích tam giác \(KMO'\) để suy ra độ dài \(O'I.\)

Giải chi tiết:

Trong mặt phẳng \(\left( SAC \right)\) kẻ \(MO'//SO.\)

\(MO'\bot \left( ABCD \right)\Rightarrow MO'\bot O'N\Rightarrow \widehat{MNO'}={{60}^{0}}.\)

Từ \(O'\) kẻ \(O'H\bot AB\) khi đó \(O'H=\frac{1}{4}CB.\)

Từ \(O'\) kẻ \(O'K\bot AD.\)

 Khi đó ta có \(\left\{ \begin{align}& O'K\bot AD \\& MO'\bot AD \\\end{align} \right.\Rightarrow AD\bot \left( MO'K \right).\)

Từ \(O'\) kẻ \(O'I\bot MK.\)

 Ta có \(\left\{ \begin{align}& O'I\bot MK \\& O'I\bot AD \\\end{align} \right.\Rightarrow O'I\bot \left( SAD \right)\Rightarrow O'I\bot DM.\)

Kéo dài đoạn \(O'M\) cắt \(DB\) tại \(J.\) Khi đó

\(\left\{ \begin{align}& HJ\bot MO' \\& HJ\bot O'K \\\end{align} \right.\Rightarrow HJ\bot \left( MO'K \right)\Rightarrow HJ\bot O'I.\)

Từ \(J\) kẻ \(JT\bot AD.\)

Từ \(T\) kẻ \(T{{I}_{1}}//IK.\)

 Khi đó \({{I}_{1}}J\) là đoạn vuông góc chung của \(DN\) và \(OH.\)

\({{I}_{1}}J=O'I\) và đoạn vuông góc chung giữa \(DM\) và \(CB\) gấp \(4\) lần \(O'I.\)

Ta có

\(\begin{align}& O'{{N}^{2}}=O'{{C}^{2}}+C{{N}^{2}}-2O'C.CBc\text{os}{{45}^{0}} \\& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,={{a}^{2}}\left[ {{\left( \frac{3\sqrt{2}}{4} \right)}^{2}}+\frac{1}{4}-2\frac{\sqrt{2}}{2}.\frac{3\sqrt{2}}{2}.\frac{1}{2} \right]=\frac{5{{a}^{2}}}{8}. \\\end{align}\)

Suy ra \(O'N=\sqrt{\frac{5}{8}}a\Rightarrow MO=\tan {{60}^{0}}.O'N=\sqrt{3}.\sqrt{\frac{5}{8}}a=\sqrt{\frac{15}{8}}a.\)

Áp dụng định lý Py-ta-go cho tam giác vuông \(MKO\) ta được \(MK=a\sqrt{\frac{15}{8}+\frac{1}{16}}=a\frac{\sqrt{31}}{4}.\) 

Ta có \(2{{S}_{MO'K}}=MO'.O'K=O'I.MK\Rightarrow O'I=\frac{MO'.O'K}{MK}=\sqrt{\frac{15}{243}}a.\)

Do đó khoảng cách giữa \(DM\) và \(CB\) bằng \(4O'I=\sqrt{\frac{30}{31}}a.\)

Chọn đáp án B.