Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có mặt đáy ABC là tam...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Phương pháp :

Nhận xét \(\frac{d\left( B;\left( ACC'A' \right) \right)}{d\left( H;\left( ACC'A' \right) \right)}=\frac{BA}{BH}=2\Rightarrow d\left( B;\left( ACC'A' \right) \right)=2d\left( H;\left( ACC'A' \right) \right)\)

Xác định khoảng cách từ H đến (ACC’A’).

Giải chi tiết:

Cách giải :

Ta có \(A'H\bot \left( ABC \right)\) nên \(\left( A'A;\left( ABC \right) \right)=\left( A'A;HA \right)=\widehat{A'AH}={{60}^{0}}\)

Gọi D là trung điểm của AC thì \(BD\bot AC\), kẻ HE // AC suy ra \(HE\bot AC\)

Ta có \(\left\{ \begin{align}  & AH\bot AC \\  & HE\bot AC \\ \end{align} \right.\Rightarrow AC\bot \left( AHE \right)\)

Trong (AHE) kẻ \(HK\bot AE\Rightarrow HK\bot AC\Rightarrow HK\bot \left( ACC'A' \right)\Rightarrow d\left( H;\left( ACC'A' \right) \right)=HK\)

Mà \(\frac{d\left( B;\left( ACC'A' \right) \right)}{d\left( H;\left( ACC'A' \right) \right)}=\frac{BA}{BH}=2\Rightarrow d\left( B;\left( ACC'A' \right) \right)=2d\left( H;\left( ACC'A' \right) \right)=2HK\)

Ta có \(BD=\frac{2a\sqrt{3}}{2}=a\sqrt{3}\Rightarrow HE=\frac{1}{2}BD=\frac{a\sqrt{3}}{2}\)

Xét tam giác vuông A’AH có \(A'H=AH.\tan 60=a\sqrt{3}\)

Xét tam giác vuông A’HE có

\(\begin{align}  & H{{K}^{2}}=\frac{A'{{H}^{2}}.H{{E}^{2}}}{A'{{H}^{2}}+H{{E}^{2}}}=\frac{3{{a}^{2}}.\frac{3{{a}^{2}}}{4}}{3{{a}^{2}}+\frac{3{{a}^{2}}}{4}}=\frac{3{{a}^{2}}}{5}\Rightarrow HK=\frac{a\sqrt{15}}{5} \\  & \Rightarrow d\left( B;\left( ACC'A' \right) \right)=\frac{2a\sqrt{15}}{5} \\ \end{align}\)

Chọn B.