Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(a\,\,(a&...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

- Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để đánh giá.

Giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}{\left( {{2^a} + \frac{1}{{{2^a}}}} \right)^{2017}} \le {\left( {{2^{2017}} + \frac{1}{{{2^{2017}}}}} \right)^a},\,\,a > 0\\ \Leftrightarrow 2017\ln \left( {{2^a} + \frac{1}{{{2^a}}}} \right) \le a\ln \left( {{2^{2017}} + \frac{1}{{{2^{2017}}}}} \right) \Leftrightarrow \frac{{\ln \left( {{2^a} + \frac{1}{{{2^a}}}} \right)}}{a} \le \frac{{\ln \left( {{2^{2017}} + \frac{1}{{{2^{2017}}}}} \right)}}{{2017}}\,\,(*)\end{array}\)

Xét hàm số \(y=f(t)=\frac{\ln \left( {{2}^{t}}+\frac{1}{{{2}^{t}}} \right)}{t},\,t>0\), ta có:

\(\begin{array}{l}y = f(t) = \frac{{\ln \left( {{2^t} + \frac{1}{{{2^t}}}} \right)}}{t} = \frac{{\ln \left( {{2^{2t}} + 1} \right) - t\ln 2}}{t} = \frac{{\ln ({4^t} + 1)}}{t} - \ln 2\\ =  > \,f'(t) = \frac{{\frac{{{4^t}.\ln 4}}{{{4^t} + 1}}.t - \ln ({4^t} + 1)}}{{{t^2}}} = \frac{{{4^t}\ln {4^t} - ({4^t} + 1)\ln ({4^t} + 1)}}{{{t^2}({4^t} + 1)}}\end{array}\)

Ta có: \({{4}^{t}}<{{4}^{t}}+1;\ln {{4}^{t}}<\ln \left( {{4}^{t}}+1 \right)\Rightarrow {{4}^{t}}.\ln {{4}^{t}}<\left( {{4}^{t}}+1 \right).\ln \left( {{4}^{t}}+1 \right)\forall t>0\Rightarrow {{4}^{t}}.\ln {{4}^{t}}-\left( {{4}^{t}}+1 \right).\ln \left( {{4}^{t}}+1 \right)<0\forall t>0\)

Nên \(f'\left( t \right)<0,\forall t>0\)

Vậy f(t) là hàm nghịch biến nên theo (*) ta có: \(f\left( a \right)\le f\left( 2017 \right)\Leftrightarrow a\ge 2017\)

Chọn: C.