Cho một chiếc cốc có dạng hình nón cụt và một viên...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức tính thể tích khối nón cụt và bán kính đường tròn nội tiếp hình thang cân

Giải chi tiết:

Chuẩn hóa bán kính của viên bi là \(1\,\,\Rightarrow \) Chiều cao của cốc là \(h=2.\)

\(\bullet \) Thể tích của viên bi là \({{V}_{1}}=\frac{4\pi }{3}.\) Gọi \(R,\,\,r\) lần lượt là bán kính của miệng cốc và đáy cốc.

\(\bullet \) Thể tích của cốc (khối nón cụt) là \({{V}_{2}}=\frac{\pi h}{3}\left( {{R}^{2}}+Rr+{{r}^{2}} \right)=\frac{2\pi }{3}\left( {{R}^{2}}+Rr+{{r}^{2}} \right).\)

\(\bullet \) Vì lượng nước tràn ra bằng nửa lượng nước đổ vào cốc \(\Rightarrow\,\,\frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\frac{1}{2}\Rightarrow\,\,{{R}^{2}}+Rr+{{r}^{2}}=4\,\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right).\)

\(\bullet \) Xét mặt cắt của cốc khi thả viên bi vào trong cốc (hình vẽ bên).

Dễ thấy \(ABCD\) là hình thang cân \(\Rightarrow \,\,O{{A}^{2}}+O{{B}^{2}}=A{{B}^{2}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right).\)

Mà \(\left\{ \begin{align} O{{A}^{2}}={{R}^{2}}+1 \\  O{{B}^{2}}={{r}^{2}}+1 \\\end{align} \right.\) và \(A{{B}^{2}}={{\left( AH-BK \right)}^{2}}+H{{K}^{2}}={{\left( R-r\right)}^{2}}+4\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right).\)

Từ \(\left( 2 \right)\) và \(\left( 3 \right)\)\(\Rightarrow \)\({{R}^{2}}+{{r}^{2}}+2={{\left( R-r \right)}^{2}}+4\Leftrightarrow Rr=1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 4 \right).\)

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 4 \right)\)\(\Rightarrow \)\({{R}^{2}}+Rr+{{r}^{2}}=4Rr\Leftrightarrow {{\left( \frac{R}{r} \right)}^{2}}-3\left( \frac{R}{r} \right)+1=0.\)

\(\Leftrightarrow \frac{R}{r}=\frac{3+\sqrt{5}}{2}.\) Vậy tỉ số cần tính là \(\frac{3+\sqrt{5}}{2}.\)

Chọn C