Cho

Câu hỏi: Cho $x = \sqrt[3]{a + \frac{a + 1}{3} \sqrt{\frac{8 a - 1}{3}}} + \sqrt[3]{a - \frac{a + 1}{3} \sqrt{\frac{8 a - 1}{3}}}$

Đáp án

- Hướng dẫn giải

Đặt $\{\begin{cases} x_{1} = \sqrt[3]{a + \frac{a + 1}{3} \sqrt{\frac{8 a - 1}{3}}} \\ x_{2} = \sqrt[3]{a - \frac{a + 1}{3} \sqrt{\frac{8 a - 1}{3}}} \end{cases} \Rightarrow x_{1} x_{2} = \frac{2 a - 1}{8}$

Khi đó

$\begin{array}{l} x = x_{1} - x_{2} \\ \Leftrightarrow x^{3} = {(x_{1} + x_{2})}^{3} = {x_{1}}^{3} + {x_{2}}^{3} - 3 x_{1} x_{2} (x_{1} + x_{2}) = 2 a + (1 - 2 a) x \\ \Leftrightarrow x^{3} + (2 a - 1) x - 2 a = 0 \\ \Leftrightarrow (x - 1) (x^{2} + x + 2 a) = 0 \\ \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 1 \\ x^{2} + x + 2 a \end{array} \end{array}$