Nghiệm của phương trình     \(\frac{{1 - \tan x}}{...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

- Biến đổi vế phải của phương trình: \(\frac{{1 - \tan x}}{{1 + \tan x}} = \frac{{1 - \frac{{\sin x}}{{\cos x}}}}{{1 + \frac{{\sin x}}{{\cos x}}}} = \frac{{\cos x - \sin x}}{{\cos x + \sin x}}\)

- Quy đồng để đưa về phương trình đẳng cấp bậc ba của sin và cos

\(\frac{{\cos x - \sin x}}{{\cos x + \sin x}} = {\left( {\cos x + \sin x} \right)^2} \Leftrightarrow \cos x - \sin x = {\left( {\cos x + \sin x} \right)^3}\)

Giải chi tiết:

Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}\cos x \ne 0\\\tan x =  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \\x \ne  - \frac{\pi }{4} + m\pi \end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,\left( {\,k,\;m \in \mathbb{Z}} \right)\) \(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{{\cos x - \sin x}}{{\cos x + \sin x}} = 1 + 2\sin x.\cos x \Leftrightarrow \frac{{\cos x - \sin x}}{{\cos x + \sin x}} = {\left( {\cos x + \sin x} \right)^2}\\ \Leftrightarrow \cos x - \sin x = {\left( {\cos x + \sin x} \right)^3}\\ \Leftrightarrow \cos x - \sin x = {\cos ^3}x + 3{\cos ^2}x.\sin x + 3\cos x.{\sin ^2}x + {\sin ^3}x\end{array}\)

Chia hai vế của phương trình cho \({\cos ^3}x \ne 0\) ta có:

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{1}{{{{\cos }^2}x}} - \tan x.\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} = 1 + 3\tan x + 3{\tan ^2}x + {\tan ^3}x\\ \Leftrightarrow {\tan ^3}x + 3{\tan ^2}x + 3\tan x + 1 + \tan x\left( {{{\tan }^2}x + 1} \right) - {\tan ^2}x - 1 = 0\\ \Leftrightarrow {2\tan ^3}x + 2{\tan ^2}x + 4\tan x = 0\\ \Leftrightarrow \tan x\left( {{{2\tan }^2}x + 2\tan x + 4} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \tan x = 0\;\;\;\left( {do\;{{2\tan }^2}x + 2\tan x + 4 = 0\;\;VN} \right)\\ \Leftrightarrow x = k\pi \;\;\left( {tm} \right).\end{array}\)

Chọn A.