Cho \({x_0}\) là nghiệm của phương trình \(\sin x\...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Đặt ẩn phụ \(t = \sin x + \cos x\)

Biến đổi \(sin2x = {t^2} - 1.\)

Thay t vào phương trình : đưa về phương trình bậc 2 ẩn t. Giải phương trình tìm ẩn t.

Tính \(\sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right).\)

Giải chi tiết:

Đặt \(t = \sin x + \cos x = \sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right),\;\;t \in \left[ { - \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right].\)

Ta có: \({t^2} = {\sin ^2}x + {\cos ^2}x + 2\sin x.\cos x = 1 + 2\sin x.\cos x \Rightarrow \sin x.\cos x = \frac{{{t^2} - 1}}{2}.\)

Phương trình đã cho trở thành:

\(\frac{{{t^2} - 1}}{2} + 2t = 2 \Leftrightarrow {t^2} + 4t - 5 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\;\;\left( {tm} \right)\\t =  - 5 \notin \left[ { - \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right]\end{array} \right.\)

Từ đó ta có \(\sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = 1 \Leftrightarrow \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).

Như vậy \(P = \sin \left( {{x_0} + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).

Chọn A