Biết rằng khi \(m = {m_0}\) thì phương trình \(2{\...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Phân tích biểu thức ban đầu về nhân tử.

+) Dựa vào vòng tròn lượng giác đếm số nghiệm trong khoảng điêu kiện sẽ xảy ra 2 TH.

+) Giải từng TH được m.

Giải chi tiết:

Đặt \(t = \sin x{\rm{ }}\left( { - 1 \le t \le 1} \right)\).

Phương trình trở thành \(2{t^2} - \left( {5m + 1} \right)t + 2{m^2} + 2m = 0.\)\(\left( * \right)\).

Yêu cầu bài toán tương đương với:

TH1: Phương trình \(\left( * \right)\)có một nghiệm \({t_1} =  - 1\) (có một nghiệm \(x\))  và một nghiệm \(0 < {t_2} < 1\) (có bốn nghiệm phân biệt \(x\)) (Hình 1).

 Do \({t_1} =  - 1 \Rightarrow {t_2} =  - \frac{c}{a} =  - {m^2} - m\).

 Thay \({t_1} =  - 1\) vào phương trình \(\left( * \right)\), ta được \(\left[ \begin{array}{l}m =  - 3\,\, \Rightarrow {t_2} =  - 6 \notin \left( {0;1} \right)\;\left( {ktm} \right)\\m =  - \frac{1}{2}\,\, \Rightarrow {t_2} = \frac{1}{4} \in \left( {0;1} \right)\;\left( {tm} \right)\end{array} \right.\)

 TH2: Phương trình \(\left( * \right)\) có một nghiệm \({t_1} = 1\) (có hai nghiệm phân biệt \(x\)) và một nghiệm \( - 1 < {t_2} \le 0\) (có ba nghiệm phân biệt\(x\)) (Hình 2).

 Do \({t_1} = 1 \Rightarrow {t_2} = \frac{c}{a} = {m^2} + m\).

Thay \({t_1} = 1\) vào phương trình \(\left( * \right)\), ta được \(\left[ \begin{array}{l}m = 1\,\, \Rightarrow {t_2} = 2 \notin \left( { - 1;0} \right]\;\;\left( {ktm} \right)\\m = \frac{1}{2}\,\, \Rightarrow {t_2} = \frac{3}{4} \notin \left( { - 1;0} \right]\;\;\left( {ktm} \right)\end{array} \right..\)

Vậy \(m =  - \frac{1}{2}\) thỏa mãn yêu cầu bài toán. Do \(m =  - \frac{1}{2} \in \left( { - \frac{3}{5}; - \frac{2}{5}} \right).\)

Chọn D