Phương trình   \({\cos ^3}x\, + \,{\sin ^3}x\, = \...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Biến đổi vế trái bởi hằng đẳng thức

\({\cos ^3}x\, + \,{\sin ^3}x = (\cos x\, + \,\sin x)({\sin ^2}x - \,\cos x.\,\sin x + {\cos ^2}x)\, = (\cos x\, + \,\sin x)(1\, - \,\cos x.\,\sin x)\,\)

+) Chuyển vế và rút gọn, đặt nhân tử chung \(\sin 2x\)

Giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}Pt \Leftrightarrow \,\,\,(\cos x\, + \,\sin x)(1\, - \,\cos x.\,\sin x)\, = \,\cos x\, + \,\sin 2x\, + \,\sin x\\\;\;\;\; \Leftrightarrow \left( {\cos x + \sin x} \right)\left( {1 - \cos x.\sin x - 1} \right) = \sin 2x\\\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\frac{1}{2}(\cos x\, + \,\sin x)\,\sin 2x\, = \,\,\sin 2x\,\, \Leftrightarrow \,\,\,(\cos x\, + \,\sin x\, - 2)\,\sin 2x\, = \,0\\\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\sin 2x = 0\,\,\, \Leftrightarrow \,\,2x\, = \,k\pi \,\,\, \Leftrightarrow x\, = \,k\frac{\pi }{2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\;\;\;\left( {do\;\;\cos x + \sin x - 2 = 0\;\;vn} \right)\end{array}\)

Xét: \(0 < \frac{{k\pi }}{2} < 2018 \Leftrightarrow 0 < k < \frac{{4036}}{\pi } \approx 1284,7 \Leftrightarrow k \in \left\{ {1;2;3;...;1284} \right\}\), có 1284 nghiệm thõa mãn.