Gọi \({x_1},\,\,{x_2}\) là hai nghiệm của phương t...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Khi phương trình bậc hai \(a{x^2} + bx + c = 0\) có 2 nghiệm \({x_1},\,\,{x_2}\). Áp dụng định lí Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - b}}{a}\\{x_1}{x_2} = \dfrac{c}{a}\end{array} \right.\).

+) Đưa biểu thức \(P\) về dạng \(P = {f^2}\left( m \right) + A\) (\(A\) là hằng số) và đánh giá.

Giải chi tiết:

Phương trình \({x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + {m^2} + 2 = 0\) có 2 nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \Delta ' = {\left( {m + 1} \right)^2} - {m^2} - 2 = 2m - 1 > 0 \Leftrightarrow m > \dfrac{1}{2}\).

Giả sử phương trình \({x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + {m^2} + 2 = 0\) có hai nghiệm là \({x_1},\,\,{x_2}\). Áp dụng định lí Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2m + 2\\{x_1}{x_2} = {m^2} + 2\end{array} \right.\).

Khi đó

\(\begin{array}{l}P = {x_1}{x_2} - 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) - 6 = {m^2} + 2 - 2\left( {2m + 2} \right) - 6\\P = {m^2} - 4m - 8 = {m^2} - 4m + 4 - 12 = {\left( {m - 2} \right)^2} - 12 \ge  - 12\end{array}\)

\( \Rightarrow {P_{\min }} =  - 12\). Dấu "=" xảy ra \( \Leftrightarrow m = 2\).

Chọn C.