Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{ar...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Xét tính liên tục của hàm số tại \(x = 0.\)

Hàm số \(y = f\left( x \right)\)  liên tục tại điểm \(x = {x_0} \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right).\)  

Giải chi tiết:

Hàm số đã cho xác định và liên tục trên \(\left( { - \infty ;0} \right);\left( {0; + \infty } \right)\) .

Ta có: \(f\left( 0 \right) = b.\)

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{{x^3} - a{x^2}}}{{\cos x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{{x^2}\left( {x - a} \right)}}{{ - 2{{\sin }^2}\frac{x}{2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left[ {\frac{{4\left( {x - a} \right)}}{{ - 2}}{{\left( {\frac{{\frac{x}{2}}}{{\sin \frac{x}{2}}}} \right)}^2}} \right] = 2a.\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( {{x^2} + b} \right) = b\end{array}\)

Để hàm số liên tục trên \(\mathbb{R}\) thì hàm số liên tục tại \(x = 0 \Leftrightarrow 2a = b \Leftrightarrow 2a - b = 0.\) 

Chọn A.