Cho phương trình: \({2^{{x^3} + {x^2} - 2x + m}} -...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp hàm số để làm bài toán.

Giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\;\;\;\;{2^{{x^3} + {x^2} - 2x + m}} - {2^{{x^2} + x}} + {x^3} - 3x + m = 0\\ \Leftrightarrow \;{2^{{x^3} + {x^2} - 2x + m}} + {x^3} + {x^2} - 2x + m - \left( {{2^{{x^2} + x}} + {x^2} + x} \right) = 0\\ \Leftrightarrow {2^{{x^3} + {x^2} - 2x + m}} + {x^3} + {x^2} - 2x + m = {2^{{x^2} + x}} + {x^2} + x\;\;\left( * \right)\end{array}\)

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {2^t} + t\) ta có \(f'\left( t \right) = {2^t}\ln 2 + 1 > 0\,\,\forall t \in R\) nên hàm số đồng biến trên R.

\( \Rightarrow \left( * \right) \Leftrightarrow {x^3} + {x^2} - 2x + m = {x^2} + x \Leftrightarrow {x^3} - 3x =  - m\)  (**)

Để phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt thì phương trình (**) có 3 nghiệm phân biệt, khi đó \(m \in \left( {{y_{CT}};{y_{CD}}} \right)\) của hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} - 3x\).

Ta có \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1 \Rightarrow f\left( 1 \right) =  - 2\\x =  - 1 \Rightarrow f\left( { - 1} \right) = 2\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow m \in \left( { - 2;2} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - 2\\b = 2\end{array} \right. \Rightarrow a + 2b =  - 2 + 4 = 2\) .

Chọn D.