Chứng minh rằng \({n^2} + 11n + 39\) không chia hế...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất chia hết để làm bài toán.

Giải chi tiết:

Với \(n \in \mathbb{N}\) ta có:

 \({n^2} + 11n + 39 = \left( {{n^2} + 11n + 18} \right) + 21 \\= \left( {{n^2} + 2n + 9n + 18} \right) + 21 \\= \left[ {n(n + 2) + 9(n + 2)} \right] + 21\\ = (n + 2)(n + 9) + 21\)

Vì \((n + 9) - (n + 2) = 7\) nên \(n + 9\) và \(n + 2\) có thể cùng chia hết cho \(7\) hoặc cùng số dư  khác \(0\) khi chia cho \(7\).

+) Nếu \(n + 9\) và \(n + 2\) có thể cùng chia hết cho \(7\) thì \((n + 2)(n + 9) \vdots 49\).

Mà \(21\) không chia hết cho \(49\) nên \((n + 2)(n + 9) + 21\) không chia hết cho \(49\).

+) Nếu \(n + 9\) và \(n + 2\) có cùng số dư  khác \(0\) khi chia cho \(7\) thì \((n + 2)(n + 9)\) không chia hết cho \(7\).

Mà \(21 \vdots 7\) nên \((n + 2)(n + 9) + 21\) không chia hết cho \(7\).

Do đó \((n + 2)(n + 9) + 21\) không chia hết cho \(49\).

Vậy \({n^2} + 11n + 39\) không chia hết cho \(49\) với mọi số tự nhiên \(n\) (đpcm).