Cho hàm số \(y = {x^4} - 2\sqrt[3]{3}\left( {m -...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Xác định tọa độ ba điểm cực trị, từ đó tìm m để tam giác lập từ 3 điểm cực trị là tam giác đều.

Giải chi tiết:

Ta có: \(y = {x^4} - 2\sqrt[3]{3}\left( {m - 1} \right){x^2} - m + 1 \Rightarrow y' = 4{x^3} - 4\sqrt[3]{3}\left( {m - 1} \right)x;\,\,\,y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} = \sqrt[3]{3}\left( {m - 1} \right)\end{array} \right.\)

Để đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị thì \(\sqrt[3]{3}\left( {m - 1} \right) > 0 \Leftrightarrow m > 1\).

Khi đó, tọa độ ba điểm cực trị là:

\(A\left( {0;1 - m} \right),\,B\left( { - \sqrt {\sqrt[3]{3}\left( {m - 1} \right)} ; - \sqrt[3]{9}{m^2} + \left( {2\sqrt[3]{9} - 1} \right)m + 1 - \sqrt[3]{9}} \right),C\left( {\sqrt {\sqrt[3]{3}\left( {m - 1} \right)} ; - \sqrt[3]{9}{m^2} + \left( {2\sqrt[3]{9} - 1} \right)m + 1 - \sqrt[3]{9}} \right)\)

Dễ dàng thấy rằng tam giác ABC cân tại A, để tam giác ABC đều thì \(AB = BC \Leftrightarrow A{B^2} = B{C^2}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \sqrt[3]{3}\left( {m - 1} \right) + {\left( { - \sqrt[3]{9}{m^2} + 2\sqrt[3]{9}m - \sqrt[3]{9}} \right)^2} = 4\sqrt[3]{3}\left( {m - 1} \right)\\ \Leftrightarrow \sqrt[3]{{81}}{\left( {m - 1} \right)^4} = 3\sqrt[3]{3}\left( {m - 1} \right) \Leftrightarrow {\left( {m - 1} \right)^4} = \left( {m - 1} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {m - 1} \right)\left[ {{{\left( {m - 1} \right)}^3} - 1} \right] = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\,\,\,\,\left( {ktm} \right)\\m = 2\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy m = 2.

Chọn: D