Cho hàm số

A

- Hướng dẫn giải

Đáp án A

Gọi $M\left(a;a^3-3a\right)$ suy ra PTTT tại M là: $y=\left(3a^2-3\right)\left(x-a\right)+a^3-3a\left(d\right)$

Ta có:

 $d\cap \text{Ox}=B\left(\frac{-a^3+3a}{3a^2-3}+a;0\right)$

Phương trình hoành độ giao điểm của d và $\left(C\right)$ là : 

$x^3-3x=\left(3a^2-3\right)\left(x-a\right)+a^3-3a$

$\begin{array}{l}\iff \left(x-a\right)\left(x^2+\text{ax}+a^2\right)-3\left(x-a\right)\\ =\left(3a^2-3\right)\left(x-a\right)\\ \iff \left(x-a\right)\left(x^2+ax-2a^2\right)=0\\ \iff {\left(x-a\right)}^2\left(x+2a\right)=0\\ \iff x=-2a\Rightarrow A\left(-2a;-8a^3+6a\right)\end{array}$

Do A, M, B luôn thuộc tiếp tuyến d nên để M là trung điểm của AB thì: 

$2y_M=y_A+y_B$

$$\begin{gathered} \iff 2a^3-6a=-8a^3+6a\iff 10a^3=12a \\ \iff \left[\begin{array}{l}a=0\\ a=\pm \sqrt{\frac{6}{5}}\end{array}\right. \end{gathered}$$

Do $M\ne 0\Rightarrow a\ne 0\Rightarrow a=\pm \sqrt{\frac{6}{5}}$.

Vậy có 2 điểm M thỏa mãn yêu cầu.