Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu...

Câu hỏi: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu $(S) : {(x - 2)}^{2} + {(y - 4)}^{2} + {(z + 6)}^{2} = 24$ và điểm A(-2;0;-2). Từ A kẻ các tiếp tuyến đến (S) với các tiếp điểm thuộc đường tròn $(ω)$ . Từ điểm M di động nằm ngoài (S) và nằm trong mặt phẳng chứa $(ω)$ , kẻ các tiếp tuyến đến (S) với các tiếp điểm thuộc đường tròn $(ω')$ . Biết rằng khi $(ω)$ và $(ω')$ có cùng bán kính thì M luôn thuộc một đường tròn cố định. Tính bán kính r của đường tròn đó

A. $r = 6 \sqrt{2}$

B. $r = 3 \sqrt{10}$

C. $r = 3 \sqrt{5}$

D. $r = 3 \sqrt{2}$

Đáp án

- Hướng dẫn giải

Gọi (P) là mặt phẳng chứa đường tròn $(ω)$

Mặt cầu (S) có tâm I(2;4;6) và có bán kính $R = \sqrt{24} = 2 \sqrt{6}$ . Ta có:

$I A = \sqrt{4^{2} + 2^{2} + 8^{2}} = 4 \sqrt{6}$

Do hai đường tròn $(ω)$ và $(ω')$ có cùng bán kính nên IA=IM $= 4 \sqrt{6}$

Tam giác IAK vuông tại K nên ta có

$I K^{2} = I H . I A \Rightarrow I H = \frac{I K^{2}}{I A} = \frac{24}{4 \sqrt{6}} = \sqrt{6}$

Do H là tâm của đường tròn $(ω)$ nên điểm H cố định.

Tam giác IHM vuông tại H nên ta có:

$M H = \sqrt{I M^{2} - I H^{2}} = \sqrt{{(4 \sqrt{6})}^{2} - {(\sqrt{6})}^{2}} = 3 \sqrt{10}$

Do H cố định thuộc mặt phẳng (P), M di động trên mặt phẳng (P) và $M H = 3 \sqrt{10}$ không đổi. Suy ra điểm M thuộc đường tròn có tâm là H và có bán kính $r = H M = 3 \sqrt{10}$

Chọn đáp án B.

Câu hỏi trên thuộc đề trắc nghiệm

Bộ Đề thi THPT Quốc gia chuẩn cấu trúc Bộ Giáo dục môn Toán 2019 !!

↑