Cho tứ diện SABC và G là trọng tâm của tứ diện, mặ...

D

- Hướng dẫn giải

Đặt \(\frac{{SM}}{{SB}} = a;\frac{{SN}}{{SC}} = b\left( {0 < a;b < 1} \right)\) 

Lấy E là trung điểm BC.

Trong (SAE), kéo dài AG cắt SE tại I. Khi đó \(I \in MN\) và I là trọng tâm tam giác SBC.

Khi đó trong tam giác SBC ta luôn có \(\frac{{SB}}{{SM}} + \frac{{SC}}{{SN}} = 3\) (tính chất đã được chứng minh ở trên)

Lại có \(\frac{{{V_{S.AMN}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \frac{{SA}}{{SA}}.\frac{{SM}}{{SB}}.\frac{{SN}}{{SC}} = ab\) 

Ta có \(\frac{{SB}}{{SM}} + \frac{{SC}}{{SN}} = 3 \Leftrightarrow \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 3.\) 

Xét \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}\mathop  \ge \frac{2}{{\sqrt {ab} }} \Leftrightarrow \sqrt {ab}  \ge \frac{2}{{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}}} = \frac{2}{3} \Leftrightarrow ab \ge \frac{4}{9}\) 

Dấu = xảy ra khi \(a = b = \frac{2}{3}.\) 

Từ đó \(\frac{{{V_{S.AMN}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = ab \ge \frac{4}{9}\) hay tỉ số \(\frac{{{V_{S.AMN}}}}{{{V_{S.ABC}}}}\) nhỏ nhất là bằng \(\frac{4}{9}.\)