Cho hàm số  có đồ thị (C)

- Hướng dẫn giải

Phương trình hoành độ giao điểm của (C)  và đường thẳng d:

$\frac{2x+1}{x-1}=x+m(x\ne 1)\iff x^2+(m-3)x-m-1=0 \left(1\right)$

Khi đó  cắt (C)  tại hai điểm phân biệt  A và B khi và chi khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác 1 

$\iff \left\{\begin{array}{l}{(m-3)}^2+4(m+1)>0\\ 1^2+(m-3)-m-1\ne 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{m}^2-2m+13>0\\ -1\ne 0\end{array}\right.$ - luôn đúng

Gọi A( x₁ ; x₁+m) ; B( x₂ ; x₂+m)  trong đó x₁ ; x₂ là nghiệm của (1) , theo Viet ta có 

$\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=3-m\\ x_1{x}_2=-m-1\end{array}\right.$

Gọi $\mathit{I}\mathbf{ }\left(\frac{x_1+x_2}{2};\frac{x_1+x_2+2m}{2}\right)$ là trung điểm của AB, suy ra $\mathit{I} \left(\frac{3-m}{2};\frac{3+m}{2}\right)$, nên

$\overrightarrow{IC}\left(-2-\frac{3-m}{2}; 5-\frac{3+m}{2}\right)$ 

$\Rightarrow CI=\frac{1}{2}\sqrt{{(m-7)}^2+{(7-m)}^2}.$

Mặt khác $\overrightarrow{AB}=(x_2-x_1; x_2-x_1)$

$\Rightarrow AB=\sqrt{2{(x_2-x_1)}^2}=\sqrt{2{(m^2-2m+13)}^2}$

Vậy tam giác ABC  đều khi và chỉ khi