Có bao nhiêu cặp số nguyên dương (x;y) với \(x \le...

A

- Hướng dẫn giải

Theo đề bài ${\log _2}\left( {x - 1} \right) + 2x - 2y = 1 + {4^y} \Leftrightarrow {\log _2}2\left( {x - 1} \right) + 2\left( {x - 1} \right) = 2y + {2^{2y}}$

Đặt $t = {\log _2}2\left( {x - 1} \right) \Rightarrow 2\left( {x - 1} \right) = {2^t}$.

Ta có ${2^t} + t = {2^{2y}} + 2y\,\,\,\,\left( 1 \right)$.

Xét hàm số $f\left( t \right) = {2^t} + t$  trên R

$f'\left( t \right) = {2^t}.\ln 2 + 1 > 0\,\,\forall t \in R \Rightarrow f\left( t \right)$ đồng biến trên .

$\left( 1 \right) \Leftrightarrow f\left( t \right) = f\left( {2y} \right) \Leftrightarrow t = 2y \Leftrightarrow {\log _2}2\left( {x - 1} \right) = 2y$.

$\Leftrightarrow 2\left( {x - 1} \right) = {2^{2y}}$

$\Leftrightarrow x = {2^{2y - 1}} + 1$

Mà $x \le 2020 \Rightarrow {2^{2y - 1}} + 1 \le 2020 \Leftrightarrow y \le \frac{1}{2}\left( {1 + {{\log }_2}2019} \right)$.

Vì $y \in {Z^ + } \Rightarrow y \in \left\{ {1;2;3;4;5} \right\}$.

Vậy có 5 cặp điểm cặp số nguyên dương (x;y).