Cho hình trụ (T) có chiều cao bằng đường kính đáy,...

Câu hỏi: Cho hình trụ (T) có chiều cao bằng đường kính đáy, hai đáy là các hình tròn (O;r) và (O';r). Gọi A là điểm di động trên đường tròn (O;r) và B là điểm di động trên đường tròn (O';r) sao cho AB không là đường sinh của hình trụ (T). Khi thể tích khối tứ diện OO'AB đạt giá trị lớn nhất thì đoạn thẳng AB có độ dài bằng

A. \(\sqrt 3 r\)

B. \(\left( {2 + \sqrt 2 } \right)r\)

C. \(\sqrt 6 r\)

D. \(\sqrt 5 r\)

Đáp án

- Hướng dẫn giải

Kẻ các đường sinh AA', BB' của hình trụ (T).

Khi đó \({V_{OO'AB}} = \frac{1}{3}{V_{OAB'.O'A'B}} = \frac{1}{3}OO'.\left( {\frac{1}{2}OA.OB'.\sin AOB'} \right) = \frac{1}{3}{r^3}\sin AOB' \le \frac{1}{3}{r^3}\).

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(\widehat {AOB'} = 90^\circ \) hay \(OA \bot O'B\).

Như vậy, khối tứ diện OO'AB có thể tích lớn nhất bằng \(\frac{1}{3}{r^3}\), đạt được khi \(OA \bot O'B\). Khi đó \(A'B = r\sqrt 2 \) và \(AB = \sqrt {A'{A^2} + A'{B^2}} = r\sqrt 6 \).

Câu hỏi trên thuộc đề trắc nghiệm

Đề thi thử THPT QG năm 2021 môn Toán - Trường THPT Trần Hưng Đạo

↑