Trong không gian Oxyz, tập hợp các điểm thỏa mãn \...

D

- Hướng dẫn giải

Có \(0 \le \left| x \right| + \left| y \right| + \left| z \right| \le 2\) và \(0 \le \left| {x - 2} \right| + \left| y \right| + \left| z \right| \le 2\) nên tìm các điểm đầu mút.

\(\begin{array}{l}
\left| x \right| + \left| y \right| + \left| z \right| = 0 \Rightarrow x = y = z = 0 \Rightarrow O(0;0;0)\\
\left| {x - 2} \right| + \left| y \right| + \left| z \right| = 0 \Rightarrow x = 2;y = z = 0 \Rightarrow A(2;0;0)
\end{array}\)

Xét hệ phương trình

\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
\left| x \right| + \left| y \right| + \left| z \right| = 2\\
\left| {x - 2} \right| + \left| y \right| + \left| z \right| = 2
\end{array} \right. \Rightarrow \left| x \right| = \left| {x - 2} \right| \Leftrightarrow x = 2 - x \Leftrightarrow x = 1\\
 \Rightarrow \left| y \right| + \left| z \right| = 1 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
y = 0;z =  \pm 1\\
y =  \pm 1;z = 0
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow B(1;0;1),B'(1;0; - 1),C(1;1;0),C'(1; - 1;0)
\end{array}\)

Dựng hình suy ra tập hợp các điểm thỏa mãn là bát diện \(B.OCAC'.B'\)

Ta có \(OB = \sqrt {{1^1} + {1^1}}  = \sqrt 2 \),  do đó hình bát diện đều B.OCAC'.B' có cạnh bằng \(\sqrt 2 \)

Vậy thể tích của bát diện đều là \(V = \frac{{{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^3}\sqrt 2 }}{3} = \frac{4}{3}\)