Diện tích của đa giác tạo bởi các điểm trên đường...

C

- Hướng dẫn giải

Ta có phương trình: \({\cos ^2}x + 3\sin x.\cos x = 1 \Leftrightarrow 3\sin x.\cos x - {\sin ^2}x = 0\) 

\( \Leftrightarrow {\mathop{\rm sinx}\nolimits} \left( {3{\mathop{\rm cosx}\nolimits}  - sinx} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{\mathop{\rm sinx}\nolimits}  = 0\\
tanx = 3
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = k\pi \\
x = \alpha  + k\pi 
\end{array} \right.\) với \(\tan \alpha  = 3\) 

Gọi A; B là các điểm biểu diễn cho họ nghiệm \(x = k\pi \left( {k \in Z} \right)\) trên đường tròn lượng giác.

Gọi C; D là các điểm biểu diễn cho họ nghiệm \(x = \alpha  + k\pi \left( {k \in Z} \right)\) trên đường tròn lượng giác.

Ta cần tính diện tích hình chữ nhật ABCD.

Xét tam giác vuông AOT có: \(OT = \sqrt {O{A^2} + A{T^2}}  = \sqrt {10}  \Rightarrow \sin \alpha  = \frac{{AT}}{{OA}} = \frac{3}{{\sqrt {10} }}.\) (*)

Xét tam giác ACD có: \(\widehat {ADC} = \frac{\alpha }{2} \to \sin \frac{\alpha }{2} = \frac{{AC}}{2}\) và \(\cos \frac{\alpha }{2} = \frac{{AD}}{2}.\) 

Từ (*) \( \Rightarrow 2\sin \frac{\alpha }{2}.\cos \frac{\alpha }{2} = \frac{3}{{\sqrt {10} }} \Leftrightarrow 2.\frac{{AC}}{2}.\frac{{AD}}{2} = \frac{3}{{\sqrt {10} }} \Leftrightarrow AC.AD = \frac{6}{{\sqrt {10} }} \Rightarrow {S_{ACBD}} = \frac{{3\sqrt {10} }}{5}.\)