Biết x1, x2 (x1 &...

A

- Hướng dẫn giải

Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}
x > 0\\
x \ne \frac{1}{2}
\end{array} \right.\) 

\(\begin{array}{l}
{\log _2}\left( {\frac{{{{\left( {2x - 1} \right)}^2}}}{x}} \right) + \left( {4{x^2} - 4x + 1} \right) = 2x + 1\\
 \Leftrightarrow {\log _2}{\left( {2x - 1} \right)^2} + {\left( {2x - 1} \right)^2} - {\log _2}x = 2x + 1\\
 \Leftrightarrow {\log _2}{\left( {2x - 1} \right)^2} + {\left( {2x - 1} \right)^2} = {\log _2}2x + 2x
\end{array}\) 

Xét hàm \(f\left( t \right) = {\log _2}t + t\) trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\).

Ta có: \(f'\left( t \right) = \frac{1}{{t\ln 2}} + 1 > 0;\,\forall t > 0\) 

\( \Rightarrow f\left( t \right)\) đồng biến trên khoảng xác định.

Mà \(f\left[ {{{\left( {2x - 1} \right)}^2}} \right] = f\left( {2x} \right)\)

 \(\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow {\left( {2x - 1} \right)^2} = 2x \Leftrightarrow 4{x^2} - 6x + 1 = 0\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{{3 + \sqrt 5 }}{4}\\
x = \frac{{3 - \sqrt 5 }}{4}
\end{array} \right.
\end{array}\)

Do \(\left( {{x_1} < {x_2}} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_1} = \frac{{3 - \sqrt 5 }}{4}\\
{x_2} = \frac{{3 + \sqrt 5 }}{4}
\end{array} \right.\).

\( \Rightarrow {x_1} + 2{x_2} = \frac{{3 - \sqrt 5 }}{4} + 2\left( {\frac{{3 + \sqrt 5 }}{4}} \right) = \frac{1}{4}\left( {9 + \sqrt 5 } \right)\)

\( \Rightarrow a = 9;\,b = 5 \Rightarrow P = a + b = 14\)