Cho hàm số \(f\left( x \right) = {x^4} - 2m{x^2} +...

C

- Hướng dẫn giải

Xét hàm số \(f\left( x \right) = {x^4} - 2m{x^2} + 4 - 2{m^2}\) có \(f'\left( x \right) = 4{x^3} - 4mx = 0 \Leftrightarrow 4x\left( {{x^2} - m} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
{x^2} = m
\end{array} \right.\)

TH1: \(m \le 0 \Rightarrow \) Hàm số \(y=f(x)\) có 1 cực trị.

\(\Rightarrow \)  Để hàm số  \(y = \left| {f\left( x \right)} \right|\) có đúng 3 cực trị thì phương trình \(f(x)=0\) có 2 nghiệm phân biệt.

\( \Rightarrow f\left( 0 \right) < 0 \Leftrightarrow 4 - 2{m^2} < 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m > \sqrt 2 \\
m <  - \sqrt 2 
\end{array} \right.\) 

Kết hợp điều kiện \( \Rightarrow m <  - \sqrt 2 \) 

TH2: \(m > 0 \Rightarrow f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
x = \sqrt m \\
x =  - \sqrt m 
\end{array} \right. \Rightarrow \) Hàm số \(y=f(x)\) có 3 cực trị.

BBT:

Hàm số \(y = \left| {f\left( x \right)} \right|\) có đúng 3 cực trị khi và chỉ khi phương trình \(f(x)=0\) vô nghiệm

\( \Rightarrow f\left( {\sqrt m } \right) > 0 \Leftrightarrow {m^2} - 2{m^2} + 4 - 2{m^2} > 0 \Leftrightarrow  - 3{m^2} + 4 > 0 \Leftrightarrow  - \frac{2}{{\sqrt 3 }} < m < \frac{2}{{\sqrt 3 }}\) 

Kết hợp điều kiện \( \Rightarrow 0 < m < \frac{2}{{\sqrt 3 }}\) 

Kết hợp điều kiện đề bài ta có \(\left\{ \begin{array}{l}
m \in \left( { - 10; - \sqrt 2 } \right) \cup \left( {0;\frac{2}{{\sqrt 3 }}} \right)\\
m \in Z
\end{array} \right. \Rightarrow m \in \left\{ { - 9; - 8;...; - 2;1} \right\}\) 

Vậy có 9 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.