Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông t...

C

- Hướng dẫn giải

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC, AB.

Kẻ \(MH \bot SN,H \in SN\) 

Tam giác SBC đều, \(SM \bot BC\) 

Mà  \(\left( {SBC} \right) \bot \left( {ABC} \right),\left( {SBC} \right) \cap \left( {ABC} \right) = BC \Rightarrow SM \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SM \bot AB\) 

Ta có:  MN//AC (do MN là đường trung bình của tam giác ABC) mà \(AB \bot AC \Rightarrow MN \bot AB\) 

\( \Rightarrow AB \bot \left( {SMN} \right) \Rightarrow AB \bot MH\) 

Mà \(MH \bot SN \Rightarrow MH \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow d\left( {M;\left( {SAB} \right)} \right) = MH \Rightarrow d\left( {C;\left( {SAB} \right)} \right) = 2MH\) (do M là trung điểm của BC)

\(\Delta ABC\) vuông tại A có \(\widehat {ABC} = {30^0} \Rightarrow AC = BC.\sin {30^0} = \frac{a}{2} \Rightarrow MN = \frac{a}{4}\) 

\(\Delta SBC \) đều, cạnh \(a \Rightarrow SM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\) 

\(\Delta SMN\) vuông tại M, \(MH \bot SN\) 

\( \Rightarrow \frac{1}{{M{H^2}}} = \frac{1}{{S{M^2}}} + \frac{1}{{M{N^2}}} = \frac{1}{{{{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {\frac{a}{4}} \right)}^2}}} = \frac{4}{{3{a^2}}} + \frac{{16}}{{{a^2}}} = \frac{{52}}{{3{a^2}}} \Rightarrow MH = \sqrt {\frac{3}{{52}}} a\) 

\( \Rightarrow d\left( {C;\left( {SAB} \right)} \right) = 2.\sqrt {\frac{3}{{52}}} a = \sqrt {\frac{3}{{13}}} a = \frac{{\sqrt {39} }}{{13}}a\)