Trong hệ trục tọa độ  Oxyz, cho điểm \(A\...

B

- Hướng dẫn giải

Giả sử I(a;b;c) thỏa mãn \(\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB}  + \overrightarrow {IC}  = \overrightarrow 0 \)

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}
\overrightarrow {IA}  = \left( { - 1 - a;3 - b;5 - c} \right)\\
\overrightarrow {IB}  = \left( {2 - a;6 - b; - 1 - c} \right)\\
\overrightarrow {IC}  = \left( { - 4 - a; - 12 - b;5 - c} \right)
\end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB}  + \overrightarrow {IC}  = \left( { - 3a - 3; - 3b - 3; - 3c + 9} \right) = \overrightarrow 0 \) 

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
3a + 3 = 0\\
3b + 3 = 0\\
3c - 9 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a =  - 1\\
b =  - 1\\
c = 3
\end{array} \right. \Rightarrow I\left( { - 1; - 1;3} \right)\) 

Ta có: \(S = \left| {\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC} } \right| = \left| {\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IB}  + \overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IC} } \right| = \left| {3\overrightarrow {MI}  + \underbrace {\left( {\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB}  + \overrightarrow {IC} } \right)}_0} \right| = 3MI\) 

Khi đó \({S_{\min }} \Leftrightarrow M{I_{\min }} \Leftrightarrow M\) là hình chiếu của I trên (P).

\( \Rightarrow M{I_{\min }} = d\left( {I;\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| { - 1 + 2\left( { - 1} \right) - 2.3 - 5} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = \frac{{14}}{3}\) 

Vậy \({S_{\min }} = 3.\frac{{14}}{3} = 14\)